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7 数上 练拔尖
拔尖 8 几何计数的常见类型
类型 1，线段计数问题
1.（1）如图①，直线 上有 2 个点，则图中有 2 条可用图中字母表示的射线，有 1 条线段；
（2）如图②，直线 上有 3 个点，则图中有___条可用图中字母表示的射线，有___条线段；
（3）如图③，直线 上有 个点，则图中有_________条可用图中字母表示的射线，有______
____条线段；
（4）应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有 6 个班进行足球比赛，准备进行循环
赛（即每两个班之间赛一场），预计全部赛完共需____场比赛.
类型 2，平面内直线相交所得交点与平面的计数问题
2.为了探究同一平面内的 条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分，
我们从最简单的情形入手，如图所示.列表如下：
直线条数 最多交点的个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）当直线条数为 5 时，最多有____个交点，可写成和的形式为_____________；把平面最多
分成____部分，可写成和的形式为____________________.
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（2）当直线条数为 10 时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分.
（3）当直线条数为 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
类型 3，有关角的个数的计数问题
3. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点.以∠ 的顶点
为端点：
（1）如图①，在角的内部作 1 条射线，那么图中一共有___个角.
（2）如图②，在角的内部作 2 条射线，那么图中一共有___个角.
（3）如图③，在角的内部作 3 条射线，那么图中一共有____个角.
（4）在角的内部作 条射线，那么一共有几个角？
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拔尖 8 几何计数的常见类型
类型 1，线段计数问题
1.（1）如图①，直线 上有 2 个点，则图中有 2 条可用图中字母表示的射线，有 1 条线段；
（2）如图②，直线 上有 3 个点，则图中有___条可用图中字母表示的射线，有___条线段；
答案：4 , 3
点拨：射线有射线 1 2，射线 2 3，射线 2 1，射线 3 1 ，共 4 条;线段有线段 1 2，线段 1 3，
线段 2 3 ，共 3 条.
（3）如图③，直线 上有 个点，则图中有_________条可用图中字母表示的射线，有______
____条线段；
答案：(2 2) , ( 1)
2
点拨：根据规律，可用图中字母表示的射线是每个点作为端点用两次，但第一个点和最后一个
点作为端点只用一次， 为直线上的点数，可得射线有(2 2) 条；线段是从所有点中任取两
个，所以有 个点的直线上有线段 1 + 2 + 3 + + ( 1) = ( 1) （条）.
2
（4）应用（3）中发现的规律解决问题：某校七年级共有 6 个班进行足球比赛，准备进行循环
赛（即每两个班之间赛一场），预计全部赛完共需____场比赛.
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答案：15
点拨：假设 6 个班为一条直线上的 6 个点，则计算直线上的线段数，将 = 6 代入 ( 1)即可求
2
得结果为6×5 = 15 .
2
类型 2，平面内直线相交所得交点与平面的计数问题
2.为了探究同一平面内的 条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成多少部分，
我们从最简单的情形入手，如图所示.列表如下：
直线条数 最多交点的个数 把平面最多分成的部分数
1 0 2
2 1 4
3 3 7
… … …
（1）当直线条数为 5 时，最多有____个交点，可写成和的形式为_____________；把平面最多
分成____部分，可写成和的形式为____________________.
答案：10 , 1 + 2 + 3 + 4 , 16 , 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
（2）当直线条数为 10 时，最多有____个交点，把平面最多分成____部分.
答案：45 ，56
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7 数上 练拔尖
（3）当直线条数为 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？
解：当直线条数为 时，最多有 1 + 2 + 3 + + ( 1) = ( 1) （个）交点，把平面最多分成 1 + 1 + 2 +
2
3 + + = [ ( +1) + 1] 部分.
2
类型 3，有关角的个数的计数问题
3. 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点叫作角的顶点.以∠ 的顶点
为端点：
（1）如图①，在角的内部作 1 条射线，那么图中一共有___个角.
答案：3
（2）如图②，在角的内部作 2 条射线，那么图中一共有___个角.
答案：6
（3）如图③，在角的内部作 3 条射线，那么图中一共有____个角.
答案：10
（4）在角的内部作 条射线，那么一共有几个角？
解：如果在角的内部作 条射线，那么一共有 1 + 2 + 3 + + + ( + 1) = ( +1)( +2) （个）
2
角.
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