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7 数上 练拔尖
拔尖 2 有理数混合运算的应用技巧
技巧 1，凑整法
凑整法 , 就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质 , 把其凑成整十、
整百、整千…的数 , 从而达到计算简便、迅速的一种方法.
1.计算：
（1） 23 × 7 × 1.25 × 1 ；
7
解：原式= 8 × 7 × 1.25 × 1 = 8 × 1.25 × 7 × 1 = 10 .
7 7
（2）2 × 5 5 × 5 5 × 1 .
7 12 7 12 3 4
解：原式= 5 × 2 + 5+ 1 = 5 .
12 7 7 6
技巧 2，分组法
2.计算：1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + + 2 025 2 026 .
解：原式= 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8) + + (2 025 2 026
= 1 × 1 013 = 1 013.
技巧 3，拆分法
遇到与带分数有关的混合运算，将带分数的整数部分和分数部分进行拆分以达到简化计算的目
的，这种方法叫作拆分法.
3.计算：49 24 × 5 .
25
解：原式= 50 1 × 5 = 50 × 5 1 × 5 = 250 + 1 = 249 4 .
25 25 5 5
技巧 4，裂项法
4.计算： 1 + 1 + 1 + + 1 .
1×2 2×3 3×4 2 027×2 028
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7 数上 练拔尖
解：原式= 1 1 + 1 1 + 1 1 + + 1 1
1 2 2 3 3 4 2 027 2 028
= 1 1 = 2 027 .
2 028 2 028
技巧 5，倒数法
在有理数混合运算中，当直接求解原算式变得棘手时，我们可以运用一种巧妙的策略——“倒
数法”.这种方法的核心在于巧妙利用倒数的性质，即任何非零数与其倒数的乘积恒等于 1.具体
地，如果原算式直接求解较为繁琐，我们可以先求出其倒数的值，随后对得到的结果再取倒数，
最终就能获得原算式的解.
5.阅读下列材料. 计算：50 ÷ 1 1 + 1 .
3 4 12
解法 1：原式= 50 ÷ 1 50 ÷ 1 + 50 ÷ 1 = 50 × 3 50 × 4 + 50 × 12 = 550 .
3 4 12
解法 2：原式的倒数= 1 1 + 1 ÷ 50 = 1 × 1 1 × 1 + 1 × 1 = 1 ，故原式= 300 .
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
（1）以上两种解法中，解法___是正确的；
答案：2
（2）请你计算： 7 ÷ 1 3 7 7 .
8 4 8 12
解：原式的倒数= 1 3 7 7 ÷ 7 = 7 7 7 × 8
4 8 12 8 4 8 12 7
= 7 × 8 7 × 8 7 × 8 = 2+ 1 + 2 = 1 ,
4 7 8 7 12 7 3 3
故原式= 3 .
技巧 6，整体设元法
整体设元法的核心思想在于，将一串有理数的代数和视作一个不可分割的整体，并巧妙地用一
个特定的字母来代替这一整体.这样就使原本冗长复杂的算式瞬间变得简洁明了.
6.计算 1 + 4 + 42 + 43 + + 42 024 + 42 025 .
观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的 4 倍，如果将上式各项都乘以 4，所得新
算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算.
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7 数上 练拔尖
解：设 S = 1 + 4 + 42 + 43 + + 42 024 + 42 025 ，①
则 4S = 4 + 42 + + 42 025 + 42 026 ，②
② ①，得 3S = 42 026
2 026 2 026
1，则 S = 4 1 ，即原式= 4 1 .
3 3
请你尝试用上面的方法计算 1 + 1 + 1 + 12 3 + +
1
3 3 3 32 025
.
解：设 S = 1 + 1 + 12 +
1
3 + +
1
3 3 3 32 025
，①
则1 S = 1 + 1 1 1 1
3 3 32
+
33
+ + + ，②
32 025 32 026
① ② , 得2 S = 1 1
3 32 026
，
3 1
则 S = 32 025 ，
2
3 1
即原式= 32 025 .
2
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拔尖 2 有理数混合运算的应用技巧
技巧 1，凑整法
凑整法 , 就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质 , 把其凑成整十、
整百、整千…的数 , 从而达到计算简便、迅速的一种方法.
1.计算：
（1） 23 × 7 × 1.25 × 1 ；
7
（2）2 × 5 5 × 5 5 × 1 .
7 12 7 12 3 4
技巧 2，分组法
2.计算：1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + + 2 025 2 026 .
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技巧 3，拆分法
遇到与带分数有关的混合运算，将带分数的整数部分和分数部分进行拆分以达到简化计算的目
的，这种方法叫作拆分法.
3.计算：49 24 × 5 .
25
技巧 4，裂项法
4.计算： 1 + 1 + 1 + + 1 .
1×2 2×3 3×4 2 027×2 028
技巧 5，倒数法
在有理数混合运算中，当直接求解原算式变得棘手时，我们可以运用一种巧妙的策略——“倒
数法”.这种方法的核心在于巧妙利用倒数的性质，即任何非零数与其倒数的乘积恒等于 1.具体
地，如果原算式直接求解较为繁琐，我们可以先求出其倒数的值，随后对得到的结果再取倒数，
最终就能获得原算式的解.
5.阅读下列材料. 计算：50 ÷ 1 1 + 1 .
3 4 12
解法 1：原式= 50 ÷ 1 50 ÷ 1 + 50 ÷ 1 = 50 × 3 50 × 4 + 50 × 12 = 550 .
3 4 12
解法 2：原式的倒数= 1 1 + 1 ÷ 50 = 1 × 1 1 × 1 + 1 × 1 = 1 ，故原式= 300 .
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
（1）以上两种解法中，解法___是正确的；
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（2）请你计算： 7 ÷ 1 3 7 7 .
8 4 8 12
技巧 6，整体设元法
整体设元法的核心思想在于，将一串有理数的代数和视作一个不可分割的整体，并巧妙地用一
个特定的字母来代替这一整体.这样就使原本冗长复杂的算式瞬间变得简洁明了.
6.计算 1 + 4 + 42 + 43 + + 42 024 + 42 025 .
观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的 4 倍，如果将上式各项都乘以 4，所得新
算式中除个别项外，其余项与原式中的项相同，于是两式相减将使结果易于计算.
解：设 S = 1 + 4 + 42 + 43 + + 42 024 + 42 025 ，①
则 4S = 4 + 42 + + 42 025 + 42 026 ，②
2 026 42 026 1 42 026② ①，得 3S = 4 1，则 S = ，即原式= 1 .
3 3
请你尝试用上面的方法计算 1 + 1 + 12 +
1 + + 1 .
3 3 33 32 025
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