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7 数上 练拔尖
拔尖 3 有理数中的新定义问题
题型 1，新定义数
1. 是不为 1 的有理数，我们把 1 称为 的差倒数.如：4 的差倒数是 1 = 1， 1 的差倒数是
1 1 4 3
1 = 1.已知 1 = 2， 2 是 1的差倒数， 3是 2的差倒数， 依此类推.1 1 2
（1）分别求出 2， 3， 4 的值；
（2）计算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 的值；
（3）请求出 1 + 2 + 3 + + 2 025 的值.
题型 2，新定义运算
2 已知 ， 是有理数，且 + 1 + + 2 2 = 0 .
（1）分别求 ， 的值.
（2）借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数 ， 的新运算“#”： # = 2 +
1 ，例如：3#2 = 32 3 × 2 + 3 1 = 5 .
①求 # 的值.
②淇淇想利用计算探究这种新运算“# ”是否具有交换律（即 # 与 # 的值是否相等）？请你
根据（1）中 ， 的值进行判断.
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题型 3，新定义图形
3.在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 1，点 表示的数为 ，给出如下定义：当 ≥ 0 时，
将点 向右移动 2 个单位长度，得到点 ；当 < 0 时，将点 向左移动 个单位长度，得到
点 .称点 为点 关于点 的“联动点”.当 = 4 时，点 关于点 的“联动点” 在数轴上表示的数
为___；当 = 2 时，点 关于点 的“联动点” 在数轴上表示的数为____.
题型 4，新定义方程
4. 阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如： = 3
， 2 + 1 = 2， 都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢 基本思路是：
把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”.例如：
解方程： +3 =4 .
解：当 ≥0时，原方程可化为 +3 =4，解得 =1，符合题意；
当 <0时，原方程可化为 3 =4，解得 = 2，符合题意.
所以原方程的解为 =1或 = 2 .
根据以上材料解方程： + 2 1 = 4 .
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题型 5，新定义模型
5.把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点 重合，右端点与点 重合，如图所示.
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点 处时，它的右端点在数轴上对应
的数为 20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点 处时，木棒左端点在数轴上
对应的数为 5.由此可得木棒的长为_______.我们把这个模型记为“木棒模型”；
（2）已知点 表示的数为 5 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点 相距 3 个单位长
2
度时，求木棒的右端点与点 的距离；
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是
你现在那么大，你还要 45 年才出生；你若是我现在这么大，我就有 123 岁了，世界级老寿星
了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄.
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拔尖 3 有理数中的新定义问题
题型 1，新定义数
1. 是不为 1 的有理数，我们把 1 称为 的差倒数.如：4 的差倒数是 1 = 1， 1 的差倒数是
1 1 4 3
1 = 1.已知 1 = 2， 2 是 1的差倒数， 3是 2的差倒数， 依此类推.1 1 2
（1）分别求出 2， 3， 4 的值；
解：根据题意得 2 =
1 = 1 , = 1 = 13 , 4 =
1 = 2 .
1 2 1 1 2 1 12
（2）计算 1 + 2 + 3 + 4 + 5 的值；
解： 15 = = 1 .1 2
由（1）得 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2 + 1 +
1 + 2 + 1 = 2 1 .
2 2
（3）请求出 1 + 2 + 3 + + 2 025 的值.
解：因为 2 025 ÷ 3 = 675 ，
所以 1 + 2 + 3 + + 2 025
= [2 + 1 + 1 ] × 675
2
= 1012 1 .
2
题型 2，新定义运算
2 已知 ， 是有理数，且 + 1 + + 2 2 = 0 .
（1）分别求 ， 的值.
解：因为 + 1 + + 2 2 = 0 ，
所以 + 1 = 0， + 2 = 0 ，
所以 = 1， = 2 .
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（2）借助有理数的运算，嘉嘉定义了一种关于有理数 ， 的新运算“#”： # = 2 +
1 ，例如：3#2 = 32 3 × 2 + 3 1 = 5 .
①求 # 的值.
解：根据题意可得 = 1 2
= 1 2 1 × 2 + 1 1
= 1 2 1 1
= 3 .
②淇淇想利用计算探究这种新运算“# ”是否具有交换律（即 # 与 # 的值是否相等）？请你
根据（1）中 ， 的值进行判断.
解：根据题意可得 = 2 1
= 2 2 1 × 2 + 2 1
= 4 2 2 1
= 1 .
因为 ≠ ，所以这种新运算“# ”不具有交换律.
题型 3，新定义图形
3.在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 1，点 表示的数为 ，给出如下定义：当 ≥ 0 时，
将点 向右移动 2 个单位长度，得到点 ；当 < 0 时，将点 向左移动 个单位长度，得到
点 .称点 为点 关于点 的“联动点”.当 = 4 时，点 关于点 的“联动点” 在数轴上表示的数
为___；当 = 2 时，点 关于点 的“联动点” 在数轴上表示的数为____.
解析：因为当 ≥ 0 时，将点 向右移动 2 个单位长度，得到点 ，所以当 = 4 时， 表示的
数为 1+ 2 = 1 .因为当 < 0 时，将点 向左移动 个单位长度，得到点 ，所以当 = 2
时， 表示的数为 1 2 = 3 .
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题型 4，新定义方程
4. 阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如： = 3
， 2 + 1 = 2， 都是含有绝对值的方程.怎样求含有绝对值的方程的解呢 基本思路是：
把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”.例如：
解方程： +3 =4 .
解：当 ≥0时，原方程可化为 +3 =4，解得 =1，符合题意；
当 <0时，原方程可化为 3 =4，解得 = 2，符合题意.
所以原方程的解为 =1或 = 2 .
根据以上材料解方程： + 2 1 = 4 .
解：当 ≥ 1 时，原方程可化为 + 2 1 = 4 ，解得 = 2 ，符合题意；
当 < 1 时，原方程可化为 2 1 = 4，解得 = 2 ，符合题意.
所以原方程的解为 = 2 或 = 2 .
题型 5，新定义模型
5.把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点 重合，右端点与点 重合，如图所示.
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点 处时，它的右端点在数轴上对应
的数为 20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点 处时，木棒左端点在数轴上
对应的数为 5.由此可得木棒的长为___.我们把这个模型记为“木棒模型”；
（2）已知点 表示的数为 5 ，若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点 相距 3 个单位长
2
度时，求木棒的右端点与点 的距离；
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7 数上 练拔尖
解： 易知点 表示的数为 10.因为点 表示的数为 5 ，所以当木棒的左端点在点 右边 3 个
2
单位长度时，木棒的左端点表示的数为 5 + 3 = 1 ，右端点表示的数为1 + 5 = 11 .故木棒的
2 2 2 2
右端点与点 的距离为 10 11 = 9 ；当木棒的左端点在点 左边 3 个单位长度时，木棒的左
2 2
端点表示的数为 5 3 = 11 ，右端点表示的数为 11 + 5 = 1 .故木棒的右端点与点 的距
2 2 2 2
离为 10 1 = 21 .综上所述，木棒的右端点与点 的距离为9或21 .
2 2 2 2
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是
你现在那么大，你还要 45 年才出生；你若是我现在这么大，我就有 123 岁了，世界级老寿星
了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄.
解： 木棒模型如图，图中点 表示的数是小宇的年龄，点 表示的数是爷爷的年龄.
因为[123 45 ] ÷ 3 = 56 （岁）.
所以爷爷现在的年龄为 123 56 = 67 （岁）.
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