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7 数上 练拔尖
拔尖 5 整式加减中的创新题型
题型 1，整式加减中的无关型问题
方法：若某字母取不同值时代数式的结果一样，或代数式的值与某字母的取值无关，其实质是
合并同类项后不含该字母或含该字母的项的系数为 0.
1.有这样一道题：“当 a = 2，b = 2 时，求多项式
3a3b3 1 a2b + b 2 2a3b3 1 a2b + 3 + a3b3 + 1 a2b
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的值.”马虎做题时把 a = 2 错抄成 a = 2 ，王真没抄错题，但他们做出的结果却一样，你知
道这是怎么回事吗？
2.已知多项式 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 3xy + y 3 .
（1）化简 2A B ；
（2）当 x = 2，y = 5 时，求 2A B 的值；
（3）若 2A B 的值与 y 的值无关，求 x 的值.
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题型 2，整式加减中的缺项类问题
方法：若已知整式的化简结果不含某项，而整式化简后又含有该项，那么该项的系数一定为
0.
3.是否存在数 m，使关于 x，y 的多项式 mx2 x2 + 3x + 1 5x2 4y2 3x 的化简结果
中不含x2项？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
4. 已知：A = 2ab a + 1,B = ab + 3b 6 .
（1）当 a + b = 6,ab = 5 时，求 4B 12A 21 的值；
（2）若多项式 A + mB 不含 ab 项，求 m 的值.
题型 3，与整式加减有关的说理题
方法：利用整式加减进行说理时，一定要先正确进行计算，再利用结果的特征进行分析.
5.已知关于 x 的多项式 3x2 2x + b 与x2 + bx 1 的和不含 x 的一次项.
（1）求 b 的值,并写出它们的和；
（2）请你说明不论 x 取什么值,这两个多项式的和总是正数.
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题型 4，整式加减中的新定义题
6. 在小学，我们知道像 12，27，36，45，108， 这样的自然数能被 3 整除.一般地，如果
一个自然数所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.事实上，我们
可以说明这个结论的正确性.以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a，b ，
则通常记这个两位数为ab，于是ab = 10a + b = 9a + a + b ，显然，9a 能被 3 整除，因此，
若 a + b 能被 3 整除，那么 9a + a + b 就能被 3 整除，即ab 能被 3 整除.
根据上述材料，解答下列问题：
（1）下列各数中，能被 3 整除的有______；（填序号）
①25；②225；③1 025；④2 025 .
（2）设abcd是一个四位数，若 a + b + c + d 能被 3 整除，试说明这个数能被 3 整除；
（3）设anan 1 a1a0表示任意一个 n + 1 位自然数，若an + an 1 + + a1 + a0能被 3 整除，
试说明anan 1 a1a0 能被 3 整除.
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拔尖 5 整式加减中的创新题型
题型 1，整式加减中的无关型问题
方法：若某字母取不同值时代数式的结果一样，或代数式的值与某字母的取值无关，其实质是
合并同类项后不含该字母或含该字母的项的系数为 0.
1.有这样一道题：“当 a = 2，b = 2 时，求多项式
3a3b3 1 a2b + b 2 2a3b3 1 a2b + 3 + a3b3 + 1 a2b
2 8 4
的值.”马虎做题时把 a = 2 错抄成 a = 2 ，王真没抄错题，但他们做出的结果却一样，你知
道这是怎么回事吗？
解: 原式= 3a3b3 1 a2b + b 4a3b3 + 1 a2b + 3 + a3b3 + 1 a2b = b + 3 .
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因为该多项式化简的结果中不含字母 a ，所以该多项式的值与 a 的值无关，故两人做出的结
果一样.
2.已知多项式 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 3xy + y 3 .
（1）化简 2A B ；
解: 因为 A = x2 + xy + 2x + 2，B = 2x2 3xy + y 3 ，
所以 2A B = 2 x2 + xy + 2x + 2 2x2 3xy + y 3
= 2x2 + 2xy + 4x + 4 2x2 + 3xy y + 3
= 5xy + 4x y + 7 .
（2）当 x = 2，y = 5 时，求 2A B 的值；
解: 当 x = 2，y = 5 时,
2 = 5 + 4 + 7
= 5 × 2 × 5 + 4 × 2 5 + 7
= 50 + 8 + 5 + 7 = 30 .
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（3）若 2A B 的值与 y 的值无关，求 x 的值.
由（1）得 2A B = 5xy + 4x y + 7 .
因为 2A B 的值与 y 的值无关，所以 5xy y = 0，即 5x 1 = 0 ，
所以 x = 1 .
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题型 2，整式加减中的缺项类问题
方法：若已知整式的化简结果不含某项，而整式化简后又含有该项，那么该项的系数一定为
0.
3.是否存在数 m，使关于 x，y 的多项式 mx2 x2 + 3x + 1 5x2 4y2 3x 的化简结果
中不含x2项？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
解: 存在；
mx2 x2 + 3x + 1 5x2 4y2 3x
= mx2 x2 + 3x + 1 5x2 + 4y2 + 3x
= m 6 x2 + 4y2 + 6x + 1 .
因为关于 x，y 的多项式 mx2 x2 + 3x + 1 5x2 4y2 3x 的化简结果中不含x2 项，
所以 m 6 = 0.所以 m = 6 .
4. 已知：A = 2ab a + 1,B = ab + 3b 6 .
（1）当 a + b = 6,ab = 5 时，求 4B 12A 21 的值；
解: 4B 12A 21
= 4 ab + 3b 6 12 2ab a + 1 21
= 4ab + 12b 24 24ab + 12a 12 21
= 28ab + 12 a + b 57 .
因为 a + b = 6,ab = 5 ，所以原式= 28 × 5 + 12 × 6 57 = 125 .
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（2）若多项式 A + mB 不含 ab 项，求 m 的值.
解: A + mB = 2ab a + 1 +m ab + 3b 6
= (2 m)ab a + 1 + 3mb 6m .
因为多项式 A + mB 不含 ab 项，所以 2 m = 0.所以 m = 2 .
题型 3，与整式加减有关的说理题
方法：利用整式加减进行说理时，一定要先正确进行计算，再利用结果的特征进行分析.
5.已知关于 x 的多项式 3x2 2x + b 与x2 + bx 1 的和不含 x 的一次项.
（1）求 b 的值,并写出它们的和；
解: 依题意得 3x2 2x + b + (x2 + bx 1)
= 3x2 2x + b + x2 + bx 1
= 4x2 + b 2 x + b 1 .因为它们的和不含 x 的一次项，所以 b 2 = 0，解得 b = 2 ，
所以它们的和为 4x2 + 1 .
（2）请你说明不论 x 取什么值,这两个多项式的和总是正数.
因为x2 ≥ 0，所以 4x2 ≥ 0.所以 4x2 + 1 > 0 .
所以不论 x 取什么值，这两个多项式的和总是正数.
题型 4，整式加减中的新定义题
6. 在小学，我们知道像 12，27，36，45，108， 这样的自然数能被 3 整除.一般地，如果
一个自然数所有数位上的数字之和能被 3 整除，那么这个自然数就能被 3 整除.事实上，我们
可以说明这个结论的正确性.以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a，b ，
则通常记这个两位数为ab，于是ab = 10a + b = 9a + a + b ，显然，9a 能被 3 整除，因此，
若 a + b 能被 3 整除，那么 9a + a + b 就能被 3 整除，即ab 能被 3 整除.
根据上述材料，解答下列问题：
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7 数上 练拔尖
（1）下列各数中，能被 3 整除的有______；（填序号）
①25；②225；③1 025；④2 025 .
答案：②④
（2）设abcd是一个四位数，若 a + b + c + d 能被 3 整除，试说明这个数能被 3 整除；
解: abcd = 1 000a + 100b + 10c + d = 3 333a + 33b + 3c + a + b + c + d .
因为 3 333a + 33b + 3c 能被 3 整除，且 a + b + c + d 能被 3 整除，
所以 3 333a + 33b + 3c + a + b + c + d 能被 3 整除，所以abcd 能被 3 整除.
（3）设anan 1 a1a0表示任意一个 n + 1 位自然数，若an + an 1 + + a1 + a0能被 3 整除，
试说明anan 1 a1a0 能被 3 整除.
解: a a a a = a × 10n + a × 10n 1n n 1 1 0 n n 1 + + a1 × 10 + a0
= 10n 1 an + 10n 1 1 an 1 + + 10 1 a1 + an + an 1 + + a1 + a0 .
因为 10n 1 a ， 10n 1n 1 an 1, ， 10 1 a1 都能被 3 整除，
且an + an 1 + + a1 + a0 能被 3 整除，
所以 10n 1 an + 10n 1 1 an 1 + + 10 1 a1 + an + an 1 + + a1 + a0
能被 3 整除，即anan 1 a1a0 能被 3 整除
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