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7 数上 练拔尖
拔尖 10 线段和角中的动态问题
类型一，线段中的动态问题
题型 1 与线段中点有关的动点问题
1.如图①，已知线段 = 12，点 为线段 上的一点，点 ， 分别是 和 的中点.
（1）若 = 4，则 的长为___.
答案：6
（2）若 = ，则 的长为___.
答案：6
解析：因为 = 12， = ，所以 = 12 .因为点 ， 分别是 和 的中点，所以 =
1 = 6 1 ， = 1 = .所以 = + = 6.
2 2 2 2
（3）如图②，动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，相向而行，点 以每秒 3 个单位长度的
速度沿线段 向右匀速运动，点 以每秒 6 个单位长度的速度沿线段 向左匀速运动，设
运动时间为 s，问当 为多少时， ， 之间的距离为 6？
解：由题意得 = 3 ， = 6 ， = 6 , + + = 12 或 + = 12 ，所
以 3 + 6 + 6 = 12 或 3 + 6 6 = 12，解得 = 2或 = 2 ，故当 = 2或 = 2 时， ， 之
3 3
间的距离为 6.
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题型 2 线段和差倍分关系中的动线段问题
2.如图， 是线段 上一点， = 24 cm， ， 两点分别从 ， 出发以 1 cm/s，2 cm/s 的
速度沿直线 向左运动（ 在线段 上， 在线段 上），设运动时间为 s .
（1）当 = 2 时， = 2 ，则 的长为______；
答案：8 cm
解析：当 = 2 时，根据 ， 的运动速度知： = 2 cm = 4 cm， = cm = 2 cm，则 =
2 .因为 = 2 ，所以 + = 2( + )，即 = 2 .因为 = 24 cm， =
+ ，所以 = 8 cm .
（2）若 ， 运动到任一时刻时，总有 = 2 ，请求出 的长；
解：由题意得 = 2 cm， = cm，所以 = 2 .
因为 = 2 ，所以 + = 2( + )，即 = 2 .
因为 = 24 cm, = + ,所以 = 8 cm .
（3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 2 = 2 ，求 的长.
因为 = 24 cm, = 8 cm,所以 = 16 cm. 是直线 上一点,分四种情况：
①当点 在线段 上时，如图①.
因为 2 = 2 ， = = 16 ， = 8 + ，
所以 2(16 ) (8 + ) = 2 ，所以 = 24 cm ；
5
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7 数上 练拔尖
②当点 在线段 上时，如图②.
因为 2 = 2 ，
所以易得 2(16 + ) (8 ) = 2 ，解得 = 24 cm （舍去）；
③当点 在 的延长线上时，如图③.
因为 2 = 2 ，
所以易得 2(16 + ) ( 8) = 2 ，所以 = 40 cm ；
④当点 在 的延长线上时，如图④.
因为 2 = 2 ，所以易得 2( 16) (8 + ) = 2 ，
解得 = 40 cm （舍去）.
综上所述， 的长为24 cm 或 40 cm .
5
题型 3 线段运动中的存在性探究问题
3.【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴
上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间的距离 = | |；线段 的中点表示
的数为 + .
2
【知识运用】
（1）点 ， 表示的数分别为 ， ，若 与 1互为倒数， 与 7 互为相反数，则 ， 两点之
5
间的距离为____，线段 的中点表示的数为___.
答案：12 ， 1
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7 数上 练拔尖
【拓展迁移】
（2）在（1）的条件下，动点 从点 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时
动点 从点 出发以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 是线段 的中点，设运
动时间为 s .
答案：1 4
①点 表示的数是_______.（用含 的代数式表示）
②在运动过程中，若点 ， ， 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求 的值.
解：当点 为线段 的中点时，有 2( 5 3 ) = 7 5 5，
解得 = 12 ，不合题意，舍去；
当点 为线段 的中点时，有 2 × ( 5) = 5 3 + 7 5 ，
解得 = 1.5；当点 为线段 的中点时，有 2 × (7 5 ) = 5 3 5，
解得 = 24.综上， 的值为 1.5 或24 .
7 7
③线段 ， 的长度随运动时间的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使
得 + 为定值？若存在，求出常数 及该定值；若不存在，请说明理由.
存在.当点 在点 左侧时， = 5 3 (7 5 ) = 2 12 ，
= 5 (1 4 ) = 4 6 ，
所以 + = (2 12) + 4 6 = (2 + 4) 12 6.
根据题意得 2 + 4 = 0，解得 = 2 .此时定值为 12 × ( 2) 6 = 18 .
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类型二，角中的动态问题
题型 1 求角度问题
4.小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几
何画板制作了一道关于角的动态问题，如图，平面上顺时针排列射线 , , , ,∠ =
90 ，∠ 在∠ 外部且为钝角，∠ : ∠ = 7: 8 ，射线 , 分别平分∠ ,∠
（题目中所出现的角均大于0 且小于180 ）.请用学过的知识帮他求解以下问题.
（1）若∠ = 120 ，则∠ =____，∠ = ______.
答案：80 ，140
（2）7∠ ∠ 的值是否随着∠ 的变化而变化？若不变，直接写出该定值；若改变，
请说明理由.
解：不变.该定值为900 .
解析：设∠ = .因为∠ = 90 ，所以∠ + ∠ = 270 .
因为∠ : ∠ = 7: 8，所以∠ = 7 (270 ) , ∠ = 8 (270 ) ，
15 15

所以∠ = ∠ + ∠ = 7 (270 ) + 90 = 3 240 7 .
15 15
因为射线 , 分别平分∠ ,∠ ，
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所以∠ = 1∠ = 3 240
7 ,∠ = 1∠ = .
2 30 2 2

所以∠ = ∠ + ∠ = + 8 (270 ) = 4 320 .
2 15 30

所以 7∠ ∠ = 7 × 4 320 3 240 7 = 900 ，
30 30
即 7∠ ∠ 的值不会随着∠ 的变化而变化，定值为900 .
（3）在（1）的条件下，将∠ 绕点 以每秒2 的速度顺时针旋转得到∠ 1 1( , 的
对应边分别是 1 , 1)，若旋转时间为 秒(0 < < 180) ，当∠ 1 + 6 = ∠ 1 时，求出
的值.
易得∠ = 70 ,∠ = 80 ,
所以∠ = 90 + 70 = 160 ,∠ = 80 + 90 = 170 .
当∠ 1 = 160 2 ,∠ 1 = 170 2 时，如图①.
因为∠ 1 + 6 = ∠ 1 ，所以160 2 + 6 = 170 2 ，无解；
当∠ 1 = 2 160 ,∠ 1 = 170 2 时，如图②.
因为∠ 1 + 6 = ∠ 1 ，所以2 160 + 6 = 170 2 ，
解得 = 81 ；当∠ 1 = 2 160 ,∠ 1 = 2 170 时，
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7 数上 练拔尖
如图③.
因为∠ 1 + 6 = ∠ 1 ，所以2 160 + 6 = 2 170 ，无解；
当∠ 1 = 360 (2 160 ) = 520 2 ,∠ 1 = 2 170 时，
如图④.
因为∠ 1 + 6 = ∠ 1 ，所以520 2 + 6 = 2 170 ，解得 = 174 ；
当∠ 1 = 360 (2 160 ) = 520 2 ,
∠ 1 = 360 (2 170 ) = 530 2 时，如图⑤.
因为∠ + 6 = ∠ ，所以520 2 + 6 = 530 2 1 1 ，无解.
综上所述， 的值为 81 或 174.
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7 数上 练拔尖
题型 2 定值问题
5.如图，∠ = 90 ，∠ = 40 ，角的顶点 互相重合，将∠ 绕点 旋转.
（1）当射线 ， 重合时，∠ =____ .
答案：50
（2）在∠ 绕点 旋转的过程中，若射线 ， 与 中的某一条射线是另两条射线所夹
角的平分线，则∠ 的度数为________________.
答案：20 或40 或80
解析：如图①，当 是∠ 的平分线时，∠ = 1∠ = 20 ；如图②，当 是∠
2
的平分线时，∠ = ∠ = 40 ；
如图③，当 是∠ 的平分线时，∠ = 2∠ = 80 .
综上所述，∠ 的度数为20 或40 或80 .
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（3）在∠ 绕点 旋转的过程中，若射线 始终在∠ 的内部.
①善于思考的小明发现，在旋转过程中，∠ ∠ 的值为定值，请你求出这个定值.
解：因为∠ = 90 ，∠ = 40 ，
所以∠ = 90 ∠ ，∠ = 40 ∠ .
所以∠ ∠ = 90 ∠ 40 + ∠ = 50
②作∠ 和∠ 的平分线 ， ，在旋转过程中∠ 的度数是否发生变化？若不变，
请求出这个度数，若变化，请求出变化的范围.
解：∠ 的度数不发生变化.如图④.
因为∠ = 90 ，∠ = 40 ，
所以∠ = 90 ∠ ，∠ = 40 ∠ .
因为 ， 分别是∠ 和∠ 的平分线，
所以∠ = 1∠ = 45 1∠ ，∠ = 1∠ = 20 1∠ .
2 2 2 2
所以∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 45 1∠ + ∠ + 20 1∠ = 65 .
2 2
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题型 3 存在性探究问题
6.如图①，点 ， ， 依次在直线 上，现将射线 绕点 沿顺时针方向以每秒4 的速度
旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒6 的速度旋转，直线 保持不动，如图②，
设旋转时间为 s（ 的值在 0 到 30 之间）.
（1）当 = 3 时，求∠ 的度数.
解：当 = 3 时，∠ = (4 ) = 12 ，∠ = (6 ) = 18 ，
所以∠ = 180 12 18 = 150 .
（2）在旋转过程中，当∠ 第二次达到60 时，求 的值.
解：当∠ 第二次达到60 时，有 4 + 6 = 180 + 60 ，解得 = 24 .
（3）在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 与射线 的夹角为90 ？如果存在，请直
接写出 的值；如果不存在，请说明理由.
解：存在， 的值是 9 或 27.
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拔尖 10 线段和角中的动态问题
类型一，线段中的动态问题
题型 1 与线段中点有关的动点问题
1.如图①，已知线段 = 12，点 为线段 上的一点，点 ， 分别是 和 的中点.
（1）若 = 4，则 的长为___.
（2）若 = ，则 的长为___.
（3）如图②，动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，相向而行，点 以每秒 3 个单位长度的
速度沿线段 向右匀速运动，点 以每秒 6 个单位长度的速度沿线段 向左匀速运动，设
运动时间为 s，问当 为多少时， ， 之间的距离为 6？
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题型 2 线段和差倍分关系中的动线段问题
2.如图， 是线段 上一点， = 24 cm， ， 两点分别从 ， 出发以 1 cm/s，2 cm/s 的
速度沿直线 向左运动（ 在线段 上， 在线段 上），设运动时间为 s .
（1）当 = 2 时， = 2 ，则 的长为______；
（2）若 ， 运动到任一时刻时，总有 = 2 ，请求出 的长；
（3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 2 = 2 ，求 的长.
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题型 3 线段运动中的存在性探究问题
3.【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴
上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间的距离 = | |；线段 的中点表示
的数为 + .
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【知识运用】（1）点 ， 表示的数分别为 ， ，若 与 1互为倒数， 与 7 互为相反数，则
5
， 两点之间的距离为____，线段 的中点表示的数为___.
【拓展迁移】（2）在（1）的条件下，动点 从点 出发以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向
左运动，同时动点 从点 出发以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 是线段
的中点，设运动时间为 s .
①点 表示的数是_______.（用含 的代数式表示）
②在运动过程中，若点 ， ， 中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求 的值.
③线段 ， 的长度随运动时间的变化而变化，当点 在点 左侧时，是否存在常数 ，使
得 + 为定值？若存在，求出常数 及该定值；若不存在，请说明理由.
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类型二，角中的动态问题
题型 1 求角度问题
4.小七同学最近在研究平面中的角，他发现各角通过运动会产生很多新的结论，于是他用几
何画板制作了一道关于角的动态问题，如图，平面上顺时针排列射线 , , , ,∠ =
90 ，∠ 在∠ 外部且为钝角，∠ : ∠ = 7: 8 ，射线 , 分别平分∠ ,∠
（题目中所出现的角均大于0 且小于180 ）.请用学过的知识帮他求解以下问题.
（1）若∠ = 120 ，则∠ =____，∠ = ______.
（2）7∠ ∠ 的值是否随着∠ 的变化而变化？若不变，直接写出该定值；若改变，
请说明理由.
（3）在（1）的条件下，将∠ 绕点 以每秒2 的速度顺时针旋转得到∠ 1 1( , 的
对应边分别是 1 , 1)，若旋转时间为 秒(0 < < 180) ，当∠ 1 + 6 = ∠ 1 时，求出
的值.
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题型 2 定值问题
5.如图，∠ = 90 ，∠ = 40 ，角的顶点 互相重合，将∠ 绕点 旋转.
（1）当射线 ， 重合时，∠ =____ .
（2）在∠ 绕点 旋转的过程中，若射线 ， 与 中的某一条射线是另两条射线所夹
角的平分线，则∠ 的度数为________________.
（3）在∠ 绕点 旋转的过程中，若射线 始终在∠ 的内部.
①善于思考的小明发现，在旋转过程中，∠ ∠ 的值为定值，请你求出这个定值.
②作∠ 和∠ 的平分线 ， ，在旋转过程中∠ 的度数是否发生变化？若不变，
请求出这个度数，若变化，请求出变化的范围.
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7 数上 练拔尖
题型 3 存在性探究问题
6.如图①，点 ， ， 依次在直线 上，现将射线 绕点 沿顺时针方向以每秒4 的速度
旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒6 的速度旋转，直线 保持不动，如图②，
设旋转时间为 s（ 的值在 0 到 30 之间）.
（1）当 = 3 时，求∠ 的度数.
（2）在旋转过程中，当∠ 第二次达到60 时，求 的值.
（3）在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 与射线 的夹角为90 ？如果存在，请直
接写出 的值；如果不存在，请说明理由.
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