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7 数上 练拔尖
拔尖 7 方案问题
类型 1，生产方案
1.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 0.1 万元；经粗加工后销售，每
吨利润可达 0.5 万元；经精加工后销售，每吨利润涨至 0.8 万元.当地一家蔬菜公司收购这种蔬
菜 120 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 14 吨;如果进行
精加工，每天可加工 5 吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行.受季节条件限制，公司必
须在 15 天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司制订了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成.
你认为哪种方案获得利润最大？请说明理由
解：方案三获得利润最大.理由如下：
方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，
所以方案一可获得利润 120 × 0.5 = 60 （万元）;
方案二：由条件可知 15 天可精加工蔬菜 15 × 5 = 75 （吨），
则剩下 120 75 = 45 （吨）在市场上直接销售，
所以方案二可获得利润 75 × 0.8 + 45 × 0.1 = 64.5 （万元）.
方案三：设用 天精加工蔬菜，则用(15 ) 天粗加工蔬菜，
依题意得，5 + 14(15 ) = 120 ，解得 = 10 .
所以精加工蔬菜 5 × 10 = 50 （吨），粗加工蔬菜 14 × (15 10) = 70 （吨）.
所以方案三可获得利润 50 × 0.8 + 70 × 0.5 = 75 （万元）.
因为 60 < 64.5 < 75 ，所以方案三获得利润最大.
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类型 2，运输方案
2.秋高气爽之时，水果丰收之际.某水果加工厂收购了 30 吨雪梨.经市场预测，若直接销售，每
吨可获利 0.05 万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利 0.4 万元；若制成雪梨罐头出售，每
吨可获利 0.6 万元.该工厂的加工能力是：每天可包装 5 吨或制成罐头 3 吨.受人员限制，同一
天内两种加工方式不能同时进行.受气温限制，这些雪梨必须在 8 天内全部销售或加工完毕.为
此水果加工厂制订了两种方案：
方案一：尽可能多地做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好 8 天完成.
（1）请比较说明哪种方案可使加工厂所获利润最多？
解：方案一获利：3 × 8 × 0.6 + (30 3 × 8) × 0.05 = 14.7 （万元）;
方案二：设 吨制成罐头，则(30 ) 吨进行加工包装，则 + 30 = 8，解得 = 15 .
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获利：15 × 0.6 + (30 15) × 0.4 = 15 （万元）.
因为 15 > 14.7 ，所以方案二可使加工厂所获利润最多.
（2）水果加工厂欲将（1）中获利最多的方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已
知有甲、乙两家运输公司可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公司 运输单价/（元/吨·千米） 每吨装卸费/元
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多 450 元，求水果加工厂到市场
的距离.
设水果加工厂到市场的距离为 千米，则 5 × 15 + 50 × 15 + 450 = 6 × 15 + 30 × 15 ，
解得 = 50 ，答：水果加工厂到市场的距离为 50 千米.
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类型 3，快递方案
3.我国快递市场依旧在持续快速地发展.甲快递公司的收费标准：若质量不超过 2 千克，则统一
收费 10 元;当质量为 ( > 2)千克时，运费为(3 + 4) 元.乙快递公司的收费标准：
当质量为 ( > 0)千克时，运费为(2 + 12) 元.
（1）当客户所寄物品的质量为多少千克时，在甲、乙两快递公司的运费相等
解：当 0 < ≤ 2 时，令 10 = 2 + 12 ，
解得 = 1 ，不符合题意，舍去;
当 > 2 时，令 3 + 4 = 2 + 12 ，解得 = 8 .
所以当客户所寄物品的质量为 8 千克时，在甲、乙两快递公司的运费相等.
（2）若某客户在甲、乙两快递公司所寄物品的质量之比为 2: 7 ，共付运费为 29 元，则该客
户在甲、乙两快递公司所寄物品的质量各为多少千克？
解： 设该客户在甲快递公司所寄物品的质量为 2 kg ，
则在乙快递公司所寄物品的质量为 7 kg .
当 0 < 2 ≤ 2 时，由题意得 10 + 2 × 7 + 12 = 29 ，解得 = 0.5 .
因为 0 < 2 × 0.5 < 2，所以 = 0.5 符合题意，
所以 2 = 1,7 = 3.5 ;
当 2 > 2 时，由题意得 3 × 2 + 4 + 2 × 7 + 12 = 29 ，解得 = 0.65 .
此时 2 × 0.65 < 2 ，舍去.
综上所述，该客户在甲快递公司所寄物品的质量为 1 kg ,
在乙快递公司所寄物品的质量为 3.5 kg .
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（3）若某客户选择了一家能使自己花费最少的快递公司后，所寄物品的运费为 34 元，则该客
户选择了甲快递公司，还是乙快递公司？通过计算说明理由.
解： 该客户选择了乙快递公司.理由如下:设该客户寄 kg 的物品，
假设该客户选择的是甲快递公司，则由题意得 3 + 4 = 34 ，
解得 = 10 .而当客户在乙快递公司寄 10 kg 的物品时，
运费为 2 × 10 + 12 = 32 （元）.
因为此时在乙快递公司的运费更便宜，所以该假设不成立；
假设该客户选择的是乙快递公司，则由题意得 2 + 12 = 34 ，解得 = 11 .
而当客户在甲快递公司寄 11 kg 的物品时，运费为 3 × 11 + 4 = 37 （元）.
因为此时在乙快递公司的运费更便宜，所以该客户选择乙快递公司的假设正确.
综上所述，该客户选择了乙快递公司.
类型 4，垃圾处理方案
4.2025 年哈尔滨亚洲冬季运动会(The 9th Asian Winter Games Harbin 2025) ，是继 2022 年北
京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，已于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日在黑
龙江省哈尔滨市举行.某村也为市容做出了一份努力，在“清洁乡村”活动中，村里要购买一些
垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案：
方案一：买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二：买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 元，方案二的购买费用和垃圾
处理费用共为 元.
（1）请用含 的式子表示方案一、二的购买费用和垃圾处理费用 ， .
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：_____________， ： _____________；
（2）请你通过列式计算分析该村采用哪种方案更省钱.
解：当 = 时，即 300 + 4 000 = 600 + 1 000 ，解得 = 10 ，
故交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同；
当 > 时，即 300 + 4 000 > 600 + 1 000 ，解得 < 10 ，
故交费时间小于 10 个月时，选择方案二更省钱；
当 < 时，即 300 + 4 000 < 600 + 1 000 ，解得 > 10 ，
故交费时间超过 10 个月时，选择方案一更省钱.
类型 5，购票方案
5.七年级一班和二班两个班的同学到某公园开展社会大课堂活动，公园门票每人 40 元，超过 4
0人可以购买团体票.每班的学生人数都超过 40人.公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格
如下.团体票购票价格一览表
人数优惠方案 40 人以上
方案一 八折优惠
方案二 5 人免票，其他人九折优惠
（1）一班有 55 名学生，选择哪个方案更省钱？说明理由.
解：选择方案一更省钱.理由:依题意，方案一：55 × 40 × 0.8 = 1 760 （元）;
方案二：(55 5) × 0.9 × 40 = 1 800 （元）.
因为 1 760 < 1 800 ，所以选择方案一更省钱.
（2）二班无论选择哪种方案付的钱是一样的，求二班有多少人.
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解： 设二班有 人，根据题意得， × 40 × 0.8 = ( 5) × 0.9 × 40 ,
解得 = 45 .
答：二班有 45 人.
类型 6，购物方案
6.在 2024 年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获 40 枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表
现出色，一共收获了 2 枚金牌.某跳水俱乐部在女子双人 10 米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟
礼物，第一次采购了 22 个绿龟玩偶和 20 个绿龟挂件，共花费了 1 520 元，已知玩偶的单价比
挂件贵 50 元.
（1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
解：设购买绿龟挂件的单价为 元，则绿龟玩偶的单价为( + 50) 元，
由题意,得 20 + 22( + 50) = 1 520 ，解得 = 10 .
所以绿龟玩偶的单价为 60 元.
答：购买绿龟挂件的单价为 10 元，绿龟玩偶的单价为 60 元.
（2）在第二场女子 10 米跳水比赛时，该跳水俱乐部又组织了一次购买，第二次准备购买绿龟
玩偶 20 个，绿龟挂件 30 个，商家推出了两种购买方案，方案一：所有商品打 8 折，方案
二：买一个绿龟玩偶送一个绿龟挂件，如果请你去购买，选择哪种方案更划算？请说明理由.
解： 选择方案一更划算.理由:
方案一：(60 × 20 + 10 × 30) × 0.8 = 1 200 （元）;
方案二：60 × 20 + 10 × (30 20) = 1 300 （元）.
因为 1 300 元> 1 200 元，所以选择方案一更划算.
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类型 7，选套餐方案
7.某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是：
① 套餐：用户先缴 8 元月租，然后每分钟本地通话费用 0.2 元；
② 套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用 0.3 元.
（1）设一个月内本地通话时间为 分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含
的式子表示）
解： 套餐每月需缴的费用是(8 + 0.2 ) 元，
B 套餐每月需缴的费用是 0.3 元.
（2）一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？
由题意得 8 + 0.2 = 0.3 ，解得 = 80 .
答：一个月内本地通话 80 分钟，两种套餐费用相同.
（3）若张阿姨一个月本地通话约为 120 分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？
请说明理由.
解：选择 套餐更合算.理由:当 = 120 时， 套餐每月需缴的费用为 8 + 0.2 × 120 = 32（元），
套餐每月需缴的费用为 0.3 × 120 = 36 （元）.
因为 32 < 36，所以选择 套餐更合算.
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拔尖 7 方案问题
类型 1，生产方案
1.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 0.1 万元；经粗加工后销售，每
吨利润可达 0.5 万元；经精加工后销售，每吨利润涨至 0.8 万元.当地一家蔬菜公司收购这种蔬
菜 120 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 14 吨;如果进行
精加工，每天可加工 5 吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行.受季节条件限制，公司必
须在 15 天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司制订了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成.
你认为哪种方案获得利润最大？请说明理由
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类型 2，运输方案
2.秋高气爽之时，水果丰收之际.某水果加工厂收购了 30 吨雪梨.经市场预测，若直接销售，每
吨可获利 0.05 万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利 0.4 万元；若制成雪梨罐头出售，每
吨可获利 0.6 万元.该工厂的加工能力是：每天可包装 5 吨或制成罐头 3 吨.受人员限制，同一
天内两种加工方式不能同时进行.受气温限制，这些雪梨必须在 8 天内全部销售或加工完毕.为
此水果加工厂制订了两种方案：
方案一：尽可能多地做成罐头，余下的直接销售；
方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好 8 天完成.
（1）请比较说明哪种方案可使加工厂所获利润最多？
（2）水果加工厂欲将（1）中获利最多的方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已
知有甲、乙两家运输公司可以承担此次运输，要收取的费用如下表：
运输公司 运输单价/（元/吨·千米） 每吨装卸费/元
甲 5 50
乙 6 30
经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多 450 元，求水果加工厂到市场
的距离.
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类型 3，快递方案
3.我国快递市场依旧在持续快速地发展.甲快递公司的收费标准：若质量不超过 2 千克，则统一
收费 10 元;当质量为 ( > 2)千克时，运费为(3 + 4) 元.乙快递公司的收费标准：
当质量为 ( > 0)千克时，运费为(2 + 12) 元.
（1）当客户所寄物品的质量为多少千克时，在甲、乙两快递公司的运费相等
（2）若某客户在甲、乙两快递公司所寄物品的质量之比为 2: 7 ，共付运费为 29 元，则该客
户在甲、乙两快递公司所寄物品的质量各为多少千克？
（3）若某客户选择了一家能使自己花费最少的快递公司后，所寄物品的运费为 34 元，则该客
户选择了甲快递公司，还是乙快递公司？通过计算说明理由.
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类型 4，垃圾处理方案
4.2025 年哈尔滨亚洲冬季运动会(The 9th Asian Winter Games Harbin 2025) ，是继 2022 年北
京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，已于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日在黑
龙江省哈尔滨市举行.某村也为市容做出了一份努力，在“清洁乡村”活动中，村里要购买一些
垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案：
方案一：买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二：买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为 元，方案二的购买费用和垃圾
处理费用共为 元.
（1）请用含 的式子表示方案一、二的购买费用和垃圾处理费用 ， .
：_____________， ： _____________；
（2）请你通过列式计算分析该村采用哪种方案更省钱.
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类型 5，购票方案
5.七年级一班和二班两个班的同学到某公园开展社会大课堂活动，公园门票每人 40 元，超过 4
0人可以购买团体票.每班的学生人数都超过 40人.公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格
如下.团体票购票价格一览表
人数优惠方案 40 人以上
方案一 八折优惠
方案二 5 人免票，其他人九折优惠
（1）一班有 55 名学生，选择哪个方案更省钱？说明理由.
（2）二班无论选择哪种方案付的钱是一样的，求二班有多少人.
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类型 6，购物方案
6.在 2024 年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获 40 枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表
现出色，一共收获了 2 枚金牌.某跳水俱乐部在女子双人 10 米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟
礼物，第一次采购了 22 个绿龟玩偶和 20 个绿龟挂件，共花费了 1 520 元，已知玩偶的单价比
挂件贵 50 元.
（1）第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
（2）在第二场女子 10 米跳水比赛时，该跳水俱乐部又组织了一次购买，第二次准备购买绿龟
玩偶 20 个，绿龟挂件 30 个，商家推出了两种购买方案，方案一：所有商品打 8 折，方案
二：买一个绿龟玩偶送一个绿龟挂件，如果请你去购买，选择哪种方案更划算？请说明理由.
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7 数上 练拔尖
类型 7，选套餐方案
7.某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是：
① 套餐：用户先缴 8 元月租，然后每分钟本地通话费用 0.2 元；
② 套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用 0.3 元.
（1）设一个月内本地通话时间为 分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含
的式子表示）
（2）一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？
（3）若张阿姨一个月本地通话约为 120 分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？
请说明理由.
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