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7 数上 练拔尖
拔尖 9 线段和角中的数学思想
类型 1，方程思想
当题目中有比例式或倍数关系时，大胆地引入方程，可以使等量关系更加清楚.
1.如图，点 把线段 分成两部分，且 : = 5: 4，点 是 的中点， = 2，求 的
长.
2. （1）已知 ， 分别是∠ 和∠ 的平分线.
①如图①，若∠ = 100 ，∠ = 50 ，则∠ 的度数为 ____ ；
②如图②， 是∠ 内部的一条射线，若∠ = 20 ，∠ = 25 ，求∠ 的度数.
（2）如图③，∠ = 2∠ ，∠ = 1∠ ，若∠ = 70 ，求∠ 的度数.
2
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7 数上 练拔尖
类型 2，整体思想
根据问题结构特点，把局部的量放在整体中去观察分析，从宏观上寻求解决问题的方法.
3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 =
20 cm，点 是直线 上的一点，点 ， 分别是线段 ， 的中点.
（1）如图①，若点 是线段 上任意一点,求线段 的长度;
（2）如图②，若点 是线段 延长线上的一点，求线段 的长度.
4. 为直线 上一点，在直线 同侧作射线 ， ，使得∠ = 90 .
（1）如图①，过点 作射线 ，当 恰好为∠ 的平分线时，另作射线 ，使得 平分
∠ ，则∠ + ∠ 的度数是____ ；
（2）如图②，过点 作射线 ，当 恰好为∠ 的平分线时，判断∠ 与∠ 的数量
关系.
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类型 3，分类讨论思想
此类题目一定要仔细读题，找准分类的原因，做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”，直线上
的点往往有“左右”之分.
5.如图， 是线段 上一点， = 8 cm, = 6 cm，点 从 出发，以 2 cm/s 的速度沿
向右运动，终点为 .设点 的运动时间为 s，则当 为何值时，能使得 ， ， 这三个点中，
有一个点恰为另外两点所连线段的中点？
6.如图，点 在直线 上， = 1 .
2
（1）若点 在线段 上，且 = 9，求线段 的长；
（2）若 是线段 的中点， = 3，直接写出线段 的长.
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7.如图，已知∠ ∠ = 14 ，∠ : ∠ : ∠ = 2: 3: 4， 是∠ 的平分线，
过点 在∠ 内部作射线 ，将∠ 分成两个角，其度数之比为 1: 3 ，求∠ 的度数.
8.综合与实践.【特例感知】（1）如图①，已知线段 = 14 cm，点 为线段 上的一个动点，
点 , 分别是 和 的中点.若 = 6 cm ，则线段 =___cm ；
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若∠ = 120 ， 是∠
内部的一条射线，射线 平分∠ ，射线 平分∠ ，求∠ 的度数；
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【拓展探究】（3）已知∠ 在∠ 内部的位置如图③所示，∠ = < 180 ，∠ =
30 ，且∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，求∠ 的度数（用含 的式子表示）.
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拔尖 9 线段和角中的数学思想
类型 1，方程思想
当题目中有比例式或倍数关系时，大胆地引入方程，可以使等量关系更加清楚.
1.如图，点 把线段 分成两部分，且 : = 5: 4，点 是 的中点， = 2，求 的
长.
解：因为 : = 5: 4，所以设 = 5 ，则 = 4 .
所以 = 9 .因为点 是 的中点,所以 = 1 = 9 .
2 2
所以 = = 5 9 = 1 .又因为 = 2 ,所以1 = 2，
2 2 2
解得 = 4.所以 = 9 × 4 = 36 .
2. （1）已知 ， 分别是∠ 和∠ 的平分线.
①如图①，若∠ = 100 ，∠ = 50 ，则∠ 的度数为 ____ ；
答案：75
②如图②， 是∠ 内部的一条射线，若∠ = 20 ，∠ = 25 ，求∠ 的度数.
解：因为 是∠ 的平分线，∠ = 25 ，
所以∠ = 2∠ = 50 .又因为∠ = 20 ，
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所以∠ = ∠ + ∠ = 20 + 50 = 70 . 因为 是∠ 的平分线，
所以∠ = ∠ = 70 .所以∠ = ∠ + ∠ = 70 + 20 = 90 .
（2）如图③，∠ = 2∠ ，∠ = 1∠ ，若∠ = 70 ，求∠ 的度数.
2
解：设∠ = .因为∠ = 2∠ ，所以∠ = 2 .又因为∠ = 70 ，
所以∠ = ∠ ∠ = 2 70 .因为∠ = 1∠ ，
2
所以∠ = 2∠ = 4 140 .因为∠ = ∠ ∠ ，
所以70 = 4 140 ，解得 = 70 .所以∠ = 2 70 = 70 .
类型 2，整体思想
根据问题结构特点，把局部的量放在整体中去观察分析，从宏观上寻求解决问题的方法.
3.某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段中点”问题进行探究，已知线段 =
20 cm，点 是直线 上的一点，点 ， 分别是线段 ， 的中点.
（1）如图①，若点 是线段 上任意一点,求线段 的长度;
解：因为点 ， 分别是线段 ， 的中点,所以 = 1 , = 1 .又因为 + = =
2 2
20 cm ，所以 = + = 1 + = 1 × 20 = 10 cm .故线段 的长度为 10 cm .
2 2
（2）如图②，若点 是线段 延长线上的一点，求线段 的长度.
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解： 因为点 ， 分别是线段 ， 的中点，所以 = 1 , = 1 .又因为 =
2 2
= 20 cm ，所以 = = 1 = 10 cm.故线段 的长度为 10 cm .
2
4. 为直线 上一点，在直线 同侧作射线 ， ，使得∠ = 90 .
（1）如图①，过点 作射线 ，当 恰好为∠ 的平分线时，另作射线 ，使得 平分
∠ ，则∠ + ∠ 的度数是____ ；
答案：45
点拨：因为∠ = 90 ，所以∠ + ∠ = 90 .
因为 为∠ 的平分线， 平分∠ ，所以∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ .
2 2
所以∠ + ∠ = 1 (∠ + ∠ ) = 1 × 90 = 45 .
2 2
（2）如图②，过点 作射线 ，当 恰好为∠ 的平分线时，判断∠ 与∠ 的数量
关系.
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解：因为∠ = ∠ + ∠ = 90 ，所以∠ = 90 ∠ .
因为 为∠ 的平分线，所以∠ = 2∠ = 2 × 90 ∠ = 180 2∠ .
因为∠ + ∠ = 180 ，
所以∠ = 180 ∠ = 180 180 + 2∠ = 2∠ ，即∠ = 2∠ .
类型 3，分类讨论思想
此类题目一定要仔细读题，找准分类的原因，做到“不重不漏”.特别注意“直线和线段”，直线上
的点往往有“左右”之分.
5.如图， 是线段 上一点， = 8 cm, = 6 cm，点 从 出发，以 2 cm/s 的速度沿
向右运动，终点为 .设点 的运动时间为 s，则当 为何值时，能使得 ， ， 这三个点中，
有一个点恰为另外两点所连线段的中点？
解：①当点 是 的中点时， = = 6 cm ，
所以 = = 8 6 = 2 cm .所以 = 2 = 1.
2
1
②当点 是 的中点时， = = 3 cm ，
2
所以 = + = 8 + 3 = 11 cm .所以 = 11 .
2
综上所述，当 = 1 或11时，能使得 ， ， 这三个点中，
2
有一个点恰为另外两点所连线段的中点.
6.如图，点 在直线 上， = 1 .
2
（1）若点 在线段 上，且 = 9，求线段 的长；
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解：如图①.
因为 = 1 ，所以 = 2 .因为 = 9 ，
2
所以 + = 9.所以 2 + = 9，解得 = 3 .所以 = 2 × 3 = 6 .
（2）若 是线段 的中点， = 3，直接写出线段 的长.
解： 线段 的长为 18 或 2.
点拨：当点 在线段 上时，如图②.
因为 = 1 ，所以易得 = 3 .
2
因为 是线段 的中点，所以 = 1 = 3 .
2 2
因为 = 3，所以 = 3，即3 = 3 ，解得 = 6 .
2
所以 = 3 × 6 = 18 ；
当点 在点 的右边时，如图③.
因为 = 1 ，所以 = .
2
因为 是线段 的中点，所以 = 1 = 1 .
2 2
所以 = + = 3 = 3，解得 = 2 .
2
所以 = = 2 .
综上，线段 的长为 18 或 2.
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7.如图，已知∠ ∠ = 14 ，∠ : ∠ : ∠ = 2: 3: 4， 是∠ 的平分线，
过点 在∠ 内部作射线 ，将∠ 分成两个角，其度数之比为 1: 3 ，求∠ 的度数.
解：设∠ = 2 .因为∠ ∠ = 14 ，∠ : ∠ :∠ = 2: 3: 4 ，
所以∠ = 3 ，∠ = 4 ，∠ = 2 14 .
因为∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360 ，
所以 2 14 + 2 + 3 + 4 = 360 ，解得 = 34 .
所以∠ = 2 14 = 54 ，∠ = 2 = 68 .
因为 是∠ 的平分线，所以∠ = 1∠ = 27 .
2
因为射线 将∠ 分成两个角，其度数之比为 1: 3 ，
所以当∠ : ∠ = 1: 3 时，∠ = 68 × 1 = 17 ，
4
此时∠ = ∠ + ∠ = 27 + 17 = 44 .
当∠ : ∠ = 3: 1 时，∠ = 68 × 3 = 51 ，
4
此时∠ = ∠ + ∠ = 27 + 51 = 78 .
综上,∠ 的度数为44 或78
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8.综合与实践.【特例感知】（1）如图①，已知线段 = 14 cm，点 为线段 上的一个动点，
点 , 分别是 和 的中点.若 = 6 cm ，则线段 =___cm ；
答案：7
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若∠ = 120 ， 是∠
内部的一条射线，射线 平分∠ ，射线 平分∠ ，求∠ 的度数；
解：因为 是∠ 内部的一条射线，射线 平分∠ ，射线 平分∠ ，
所以∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ .因为∠ = 120 ，
2 2
所以∠ = ∠ + ∠ = 1 ∠ + ∠ = 1∠ = 60
2 2
【拓展探究】（3）已知∠ 在∠ 内部的位置如图③所示，∠ = < 180 ，∠ =
30 ，且∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，求∠ 的度数（用含 的式子表示）.
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7 数上 练拔尖
解： 因为∠ = ，∠ = 30 ，所以∠ + ∠ = 30
因为∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
所以∠ + ∠ = 2 ∠ + ∠ = 2 20 .
3 3
所以∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 2 + 10 .
3
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