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江西省上饶市婺源县2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、单选题
1．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．整数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．要调查下列问题，适合采取全面调查的是（ ）
A．某省居民每年的读书量 B．某品牌花生油的质量
C．中央电视台《今日说法》的收视率 D．某新型军舰入役前的零部件检查
4．点在轴上，点在轴上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．《算法统宗》是明代数学家程大位所著的一部应用数学书，书中有这样一个问题，原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！大意是说：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？根据题意，设甜果x个，苦果y个，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．定义一种新运算： ，下列说法：
①若， 则
②若， 则该不等式的解集为或；
③代数式 有最小值6；
④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．计算： ．
8．不等式的最小整数解为 ．
9．某校为了解2000名学生对《出师表》的背诵情况，从中随机抽取了200名学生，结果显示有180名学生能熟练背诵，估计该校2000名学生中能熟练背诵《出师表》的学生有 名．
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ．
11．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
12．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解方程组：．
14．解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
15．如图，A，B，C都在格点上，利用网格作图．
(1)过点C画的平行线；
(2)过点A画的垂线，并注明垂足为H；
(3)比较线段的长短：________，理由：_________．
16．已知a的两个平方根分别是4和，b的立方根是的相反数．
(1)求m，b的值；
(2)求的平方根．
17．小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，．
(1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系；
(2)写出激流勇进点的坐标为_______；
(3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标．
18．中国的人工智能（AI）领域近年取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用．某校采用抽样调查的方式对部分教师做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下不完整的统计图：
(1)求抽样调查的教师人数．
(2)补全条形统计图．
(3)求扇形图中“豆包”部分的圆心角的度数．
(4)该校共有教师240人，根据统计信息，估计该校教师最常使用“文小言”的人数．
19．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）；
已知：如图，，，．求证：．
证明：∵（已知），
∴ 　　 （ 　　 ）．
∵（ 　　 ），
∴ 　　 ．
∵，
∴（ 　　 ）．
即 　　 ．
∵．（ 　　 ）．
∴（ 　　 ）．
20．近年来，江西省委、省政府十分重视生态环境保护，某公交公司为落实省委，省政府的政策要求，计划购买型和型两种型号的新能源公交车若干辆，若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需340万元；若购买型公交车3辆，型公交车4辆，共需820万元．
(1)求购买型和型公交车每辆各需多少万元？（用二元一次方程解答）
(2)若该公交公司购买型和型公交车的总费用不超过1640万元，共购买14辆，则该公交公司哪种购买型车的量最少？这种购车方案应花费多少钱呢？
21．在平面直角坐标系中、，a、b满足．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解：由图可知，由该图平移得到的图形是
故选D．
2．C
解：∵，
∴，
故选：．
3．D
解：A选项：调查某省居民每年的读书量的调查量太大，所以不能采取全面调查，故A选项不符合题意；
B选项：调查某品牌花生油的质量调查量太大，所以不能采取全面调查，故B选项不符合题意；
C选项：调查中央电视台《今日说法》的收视率调查量太大，所以不能采取全面调查，故C选项不符合题意；
D选项：调查某新型军舰入役前的零部件检查，精密仪器必须全面调查，故D选项符合题意．
故选：D．
4．A
解：点在轴上，点在轴上，
，，
，，
，
故选：A．
5．A
解：设甜果x个，苦果y个，
根据题意得：，
故选：A．
6．B
解：①若，
当时，得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，得，
解得，符合题意，
综上，若，则，
故说法①错误，不符合题意；
②，且，
，
，
解得或，
故说法②正确，符合题意；
③
可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6，
故说法③正确，符合题意；
④的解为
当时，原方程组可化为，
将代入得，解得，
当时，原方程组可化为，
将代入得，解得（舍去），
a的值为4．
故说法④错误，不符合题意．
正确的结论有：②③，一共2个．
故选：B
7．3
解：．
故答案为： ．
8．2
解：∵，
∴，
则，
∴，
则不等式的最小整数解为，
故答案为：2
9．1800
解：∵从中随机抽取了200名学生，结果显示有180名学生能熟练背诵，
∴（名），
故答案为：1800．
10．
解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，，
∴，
∴点A平移至点C的坐标为，
故答案为：．
11．2025
解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：，
∴，
故答案为：．
12．2秒或38秒
解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，
∴，，
要使，则需，
即，
解得：，
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
∴，，
要使，则需，
即，
解得：，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∵，，
∴，，
要使，则需，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此情况不存在；
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
13．（1）；（2）
解：
；
解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入可得：，
解得：，
方程组的解为．
14．，详见解析
解：解不等式①得： ，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)，垂线段最短
（1）解：过点C画的平行线，如图所示：
（2）点A画的垂线，如图所示；
（3），理由：垂线段最短．
故答案为：，垂线段最短．
16．(1)，；
(2)的平方根．
（1）解：∵a的两个平方根分别是4和，
∴，
解得：，
∵b的立方根是的相反数，
∴b的立方根是2，
∴；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
25的平方根为，
∴的平方根．
17．(1)见解析
(2)
(3)见解析，
（1）解：建立平面直角坐标系如图．
（2）解：激流勇进点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：画出线段如图，．
18．(1)抽样调查的教师人数为80人
(2)详见解析
(3)
(4)60人
（1）解：（人），
答：抽样调查的教师人数为80人；
（2）样本中“文小言”的人数为：（人），
补全的条形统计图如图：
（3），
故扇形图中“豆包”部分的圆心角的度数为；
（4）（人），
答：该校教师最常使用“文小言”的人数为60人．
19．；两直线平行，内错角相等；已知；；等式的性质；；等量代换；同位角相等，两直线平行
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴，
∵，
∴（等式的性质），
即，
∵（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；等式的性质；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
20．(1)型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元
(2)购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元
（1）解：设型公交车每辆需万元，型公交车需万元．
由题意得：，解得
所以，型公交车每辆需108万元，型公交车需124万元．
（2）解：设型公交车购买辆，则型公交车购买辆．
由题意得：
解得：
所以，当时，购买型车的量最少，应花（万元）
答：购买型车6辆，型车8辆时购买型车的量最少，应花1640万元．
21．(1)，
(2)或
(3)或
（1）解：∵，且，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：设E为，
分以下两咱情况讨论：
①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接，
则
，
∴，，
②当E在直线下方时，同样可得，
∴，，
∴点E的坐标为或；
（3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、，
依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形的内部时，
∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
解得，
∴；
②如图，当点P在梯形的下方时，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点在x轴上，
如图，作轴于G，连接，
，
，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P点的坐标为或．

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