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第22章 二次函数
22.2
二次函数与一元二次方程
授课：
时间：
问题思考
如图, 以40 / 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度 (单位: )与飞行时间 (单位: )之间具有关系: ＝20 5 2.
(1)球的飞行高度能否达到15 如果能, 需要多少飞行时间？
解:令h＝15得20 5 2＝15,
解得t1＝1, t2＝3.
∴当飞行时间为1 或3 时,
飞行高度为15 .
思考：能结合图象说明吗？
15
1
3
t
h
问题思考
如图, 以40 / 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度 (单位: )与飞行时间 (单位: )之间具有关系: ＝20 5 2.
(2)球的飞行高度能否达到20 如果能, 需要多少飞行时间？
20
2
t
h
解:令h＝20得20 5 2＝20,
解得t1＝t2＝2.
∴当飞行时间为2 时, 飞行高度为20 .
(3)球的飞行高度能否达到20.5
解:令h＝20.5得20 5 2＝20.5,
∵△＝202－4×(－5)×(－20.5)＝－10<0,
∴球的飞行高度不能达到20.5 .
20.5
思考：能结合图象说明吗？
∴方程无实数根,
问题思考
如图, 以40 / 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线, 如果不考虑空气的阻力, 球的飞行高度 (单位: )与飞行时间 (单位: )之间具有关系: ＝20 5 2.
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
4
t
h
解:令h＝0得20 5 2＝0,
解得t1＝0, t2＝4.
∴小球从飞出到落地需要4s.
0
归纳总结
h＝20t－5t2
当h＝15时
当h＝20时
当h＝20.5时
当h＝0时
20 5 2＝15
20 5 2＝20
20 5 2＝20.5
20 5 2＝0
为一个常数
二次函数
一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c何时为一元二次方程
一般地, 对于二次函数 ＝ 2＋ ＋ ,
当 取定值且 ≠0时, 二次函数为一元二次方程.
归纳总结
h＝20－5t2
当h＝15时
当h＝20时
当h＝20.5时
当h＝0时
20 5 2＝15
20 5 2＝20
20 5 2＝20.5
20 5 2＝0
二次函数与y＝15有2个交点.
二次函数与y＝20有1个交点.
二次函数与y＝20没有交点.
二次函数与x轴有2个交点.
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根.
方程有没有实数根.
方程有两个不相等的实数根.
练习1.(1)已知二次函数 ＝2 2 3 4的函数值为1,求自变量 的值.
可以看作__________________________;
(2)解一元二次方程 2 2 3 5＝0.
可以看作______________________________
______________________.
已知二次函数 ＝2 2 3 5的函数值为0时, 求自变量 的值
小试锋芒
已知二次函数中因变量的值, 求自变量的值.
解一元二次方程
一般地, 对于二次函数 ＝ 2＋ ＋ ,
当 取定值且 ≠0时, 二次函数为一元二次方程.
解一元二次方程2 2 3 4＝1
问题探索
与x轴公共点个数
与x轴公共点坐标
对应方程
方程的解的情况
2个公共点
(－2,0),(1,0)
x2＋x－2＝0
△＝9>0,
方程有两个不相等的实数根,
解为x1＝－2, x2＝1.
画出二次函数y＝x2＋x－2的图象, 填表:
请你探索y＝x2－6x＋9和y＝x2－x＋1与x轴公共点的情况.
问题探索
y＝x2＋x－2
y＝x2－6x＋9
y＝x2－x＋1
x2＋x－2＝0
x2－6x＋9＝0
x2－x＋1＝0
两个不相等的实数根.
两个相等的实数根.
没有实数根.
2个公共点
1个公共点
没有公共点
抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程的根有什么关系？
二次函数与 轴交点个数 一元二次方程根情况 △= 2 4
归纳总结
方程ax2＋bx＋c＝0的解就是抛物线
y＝ax2＋bx＋c与x轴公共点的横坐标.
当抛物线与x轴没有公共点时, 对应的方程无实数根.
有个公共点
有个公共点
无公共点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
△> 0
△＝0
△< 0
小试锋芒
练习2.说一说下列抛物线与 轴的公共点情况.
(1) y＝x2＋5x－6;
(2) y＝－x2＋2x－9;
(3) y＝4x2－4x＋1.
解: (1) ∵△＝52－4×1×(－6)＝49>0,
∴抛物线与 轴有2个交点.
(2) ∵△＝22－4×(－1)×(－9)＝－32<0,
∴抛物线与 轴没有交点.
(3) ∵△＝(－4)2－4×4×1＝0,
∴抛物线与 轴有1个交点.
典例精析
例1.已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
求证: 此抛物线与x轴总有交点.
解:由题意得△＝[－(m＋2)]2－4m×2
＝m2＋4m＋4－8m
＝(m－2)2≥0
∴抛物线与x轴总有两个交点.
练习3. 抛物线 ＝ 2 6 ＋3的图象与 轴有交点, 求 的取值范围.
答案: k≤3且k≠0.
一元二次方程 2 2 1＝0的根就是二次函数___________与x轴交点的横坐标.
从图象可以看出方程有__________________;
一个根在_____之间, 另一个根在______之间.
问题思考
求一元二次方程 2 2 1＝0的根的近似值范围(精确到0.1).
y＝x2－2x－1
两个不相等的实数根
2与3
－1与0
进一步观察
求一元二次方程 2 2 1＝0的根的近似值范围(精确到0.1).
由图象可得
x ... 2 3 ...
y ... ...
－1
2

0
进一步观察
求一元二次方程 2 2 1＝0的根的近似值范围(精确到0.1).
x ... 2 ... 2.3 2.4 2.5 2.6 ... 3 ...
y ... -1 ... -0.31 -0.04 0.25 0.56 ... 2 ...
由下表可知, 方程的根在________之间.
2.4与2.5
(1)已知方程的一个根在2.4与2.5之间,
则方程的另一个根在___________之间;
(2) 若方程的一个根约为2.4142, 则方程的另一个根约为_________.
进一步观察
求一元二次方程 2 2 1＝0的根的近似值范围(精确到0.1).
－0.5与－0.4
－0.4142
小试锋芒
练习4.根据下列表格的对应值, 判断方程 2＋ ＋ ＝0( ≠0, , , 为常数)一个解 的范围是( ).
. 3 < < 3.23 . 3.23 < < 3.24
. 3.24 < < 3.25 . 3.25 < < 3.26
x … 3.23 3.24 3.25 3.26 …
y … -0.06 -0.02 0.03 0.09 …
C
小试锋芒
练习5.已知二次函数 ＝ 2＋ ＋ 的图象如图所示, 一元二次方程 2＋ ＋ ＝0的两个根分别是 1, 2, 如果0.4< 1<0.5, 则 2的值可能是( ).
.－2.5
.－2.45
.－2.4
.－2.35
B
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