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第22章 二次函数
22.1.4.3
待定系数法求解二次函数解析式
授课：
时间：
知识回顾
(1) 二次函数顶点式和一般式是什么
(2) 确定一次函数解析式至少需要几个点？如何求解析式？
顶点式: y＝a(x－h)2＋k(a≠0);
一般式: y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
确定一次函数解析式至少需要两个不与坐标轴平行的点.
使用待定系数法(设、代、求、写).
(3) 由几个点的坐标可以确定二次函数？
这几个点应满足什么条件？
问题探索
例1.一个二次函数的顶点坐标为(－1,2),且经过点(1,－6),求二次函数解析式.
应该怎样设二次函数的解析式呢？
解: 设y＝a(x－h)2＋k(a≠0),
∵顶点坐标为(－1,2),
∴h＝－1,k＝2,
将(1,2)代入y＝a(x＋1)2＋2得
4a＋2＝－6,
解得a＝－2,
∴二次函数是y＝－2(x＋1)2＋2.
设
代
求
写
有顶点, 设顶点式.
小试锋芒
练习1.已知一个抛物线关于x＝6对称, 且经过点(4,5), 若抛物线有最小值3, 求抛物线解析式.
答案: .
若给出两个点中, 没有顶点, 能求出二次函数的解析式吗
问题探索
例2.一个二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4),求二次函数解析式.
应该怎样设二次函数的解析式呢？
解: 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0),
将(－1,10),(1,4)代入得
a－b＋c＝10,
a＋b＋c＝4.
有三个未知数, 却只有两个方程.
问题探索
例2.一个二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4), (2,7),求二次函数解析式.
解: 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0),
将(－1,10),(1,4)代入得
a－b＋c＝10,
a＋b＋c＝4,
4a＋2b＋c＝7.
∴二次函数是y＝2x2－3x＋5.
解得
a＝2,
b＝－3,
c＝5.
待定系数法求解二次函数解析式的步骤是什么？
设函数解析式
列出方程(组)
求解并写出解析式
代入已知条件
小试锋芒
练习2.求出满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)当自变量x＝0时, 函数值y＝－1,当x＝－2或0.5时, y＝0;
(2) 二次函数的图象经过(0,0),(－1,－1),(－1,2).
答案: (1) .
问题(2)中能求出二次函数解析式吗 为什么
原因: (－1,－1)与(－1,2)横坐标相同, 两点连线与y轴平行.
由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标, 列出关于a,b,c的三元一次方程组就可以求出a,b,c的值, 进而确定二次函数.
进一步探索
求二次函数y＝x2＋3x－4与x轴的交点坐标.
解: 令y＝0得x2＋3x－4＝0,
因式分解得(x－1)(x＋4)＝0,
解得x1＝1,x2＝－4,
∴交点坐标为(1,0),(－4,0).
进一步探索
探索: 填表.
一般式 因式分解 与x轴的交点坐标
y＝x2＋3x－4
y＝－x2＋x＋6
y＝2x2－2x－4
y＝－3x2－9x－6
y＝(x－1)(x＋4)
(1,0),(－4,0)
y＝－(x＋2)(x－3)
y＝2(x＋1)(x－2)
y＝－3(x＋2)(x＋1)
(－2,0),(3,0)
(－1,0),(2,0)
(－2,0),(－1,0)
若一个二次函数与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),你能表示出这个二次函数吗
进一步思考
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0), (x2,0).
那么二次函数可表示为y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0).
如何验证呢？
解: 由题意得ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1,x2.
由韦达定理可得x1＋x2＝－, x1·x2＝,
∴a(x2－x＋)＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1·x2],
因式分解得y＝a(x－x1)(x－x2).
典例精析
例3. 一个二次函数,当自变量x＝0时, 函数值y＝－1,当x＝－2或0.5时, y＝0, 求这个二次函数的解析式.
解: 设y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),
∵当x＝－2或0.5时, y＝0,
∴x1＝－2,x2＝0.5,
将自变量x＝0, 函数值y＝－1代入得
a(0＋2)(0－0.5)＝－1,
解得a＝1
∴二次函数是y＝x2＋x－1.
结果要写成一般式或顶点式.
小试锋芒
练习3. 一个二次函数的图象过点(0,0), (2,－1),(1,0),求二次函数的解析式.
答案: .
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x＝2,求二次函数解析式.
x
y
O
x＝2
C
A
B
法①: 设y＝a(x－h)2＋k(a≠0),
∵对称轴为x＝2,
∴h＝2,
将点A,C代入得
a(1－2)2＋k＝0, a(0－2)2＋k＝3,
解得a＝1,k＝－1,
∴二次函数是y＝(x－2)2－1.
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x＝2,求二次函数解析式.
x
y
O
x＝2
C
A
B
法②: 设y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),
∵对称轴为x＝2,点A,B是抛物线上的对称点,
∴B(3,0),
∴x1＝1,x2＝3,
将点C代入得a(0－1)(0－3)＝3,
解得a＝1,
∴二次函数是y＝x2－4x＋3.
典例精析
例4.如图, 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C(0,3), 且对称轴为x＝2,求二次函数解析式.
x
y
O
x＝2
C
A
B
法③: 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0),
将点A,C代入得
a＋b＋c＝0, c＝3,
∵对称轴为x＝2,
∴－＝2,
解得a＝1,b＝－4,c＝3,
∴二次函数是y＝x2－4x＋3.
小试锋芒
练习4.已知二次函数y与自变量x的部分对应值如下表:
则二次函数的解析式为_____________.
x ... -3 -2 0 1 3 4 8 ...
y ... 7 0 -8 -9 -5 0 40 ...
y＝x2－2x－8
大展身手
练习5. 已知抛物线的顶点坐标为(1,16), 且抛物线与x轴的两交点间的距离为8, 求其解析式.
答案: 顶点式y＝－(x－1)2＋16; 一般式y＝－x2＋2x＋15.
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