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浙江省杭州市观成教育集团2025年中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·杭州模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·杭州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·杭州模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
4．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025·杭州模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·杭州模拟）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·杭州模拟）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
8．（2025·杭州模拟）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
9．（2025·杭州模拟）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．9
10．（2025·杭州模拟）如图，在中，，相交于点，过点作，，，．记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·杭州模拟）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为　 　．
12．（2025·杭州模拟）方程的解是　 　；．
13．（2025·杭州模拟）已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是　 　
14．（2025·杭州模拟）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5。从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　 　。
15．（2025·杭州模拟）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是　 　；方差是　 　（精确到0.1）．
16．（2025·杭州模拟）点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接．
（1）如图1，当时，　 　；
（2）如图2，当时，　 　．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·杭州模拟）计算：
（1）.
（2）.
18．（2025·杭州模拟）解不等式组：．
19．（2025·杭州模拟）问题：如图，在中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若______，求证：．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答．
20．（2025·杭州模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级名学生活动成绩统计表
成绩/分
人数
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分；
（2）______________，______________；
（3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（2025·杭州模拟）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
22．（2025·杭州模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
信息读取：
（1）甲、乙两地之间的距离为 ；
（2）求慢车和快车的速度；
（3）求线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
23．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当时，函数值的取值范围是，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
24．（2025·杭州模拟）已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．
（1）如图，如果，求线段的长
（2）过点E作，垂足为点G，与交于点H．
①求证：；
②设的中点为点O，如果，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】先利用绝对值、相反数的定义，有理数乘方的运算法则计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：AB、∵ ，因此A符合题意；B不符合题意；
CD、∵ ，因此C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，
由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，
故选：A．
【分析】根据主视图、俯视图得到几何体是柱体，再根据左视图确定具体形状解答即可．
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
5．【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方，把每个因数分别乘方，再把幂相乘解答即可．
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过天相遇，
可列方程为：，
故选：A．
【分析】设经过天相遇，根据“相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程”列方程即可．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故选：B．
【分析】利用等边对等角和直角三角形的两锐角互余逐项判定可求解．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天，
∴，
∴，
当时，，选项正确，
A不符合题意；
当时，，选项正确，
B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，选项错误，
C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，选项正确，
D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据“淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天”得到反比例函数关系式，进而根据反比例函数的图象与性质结合选项逐一分析即可求解。
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，作于点，
则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，根据相切线长定理得到，然后根据勾股定理求得，然后得到是矩形，即可得到，，再根据勾股定理得到，求出AD长解答即可．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过作交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴的面积，
∴，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】过作交的延长线于，利用平行四边形的性质可得，，，，进而得到，，利用勾股定理可得CE长，进而求出BC长，利用等积法求出关系式即可．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示方法：为所有整数位的个数减1．
12．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴原方程的解为或；
故答案为或．
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴ 方程组 的解.
故答案为：.
【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组的解.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表格为，
　 1 2 3 5
1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 5+1=6
2 1+2=3 2+2=4 3=2=5 5+2=7
3 1+3=4 2+3=5 3=3=6 5+3=8
5 1+5=6 2+5=7 3+5=8 5=5=10
编号之和为偶数的情况有10个，总数有16个。
∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 。
故答案为： .
【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有的可能的结果数及两次摸出的球的编号之和为偶数的情况数，然后利用概率公式可求解。
15．【答案】23；2.6
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：此组数据从小到大排列为22，23，23，23，25，25，27，由中位数的定义知中位数为23；
平均数；
方差，
∴这组数据的中位数是23；方差是2.6．
故答案为：23，2.6．
【分析】根据中位数的定义以及方差公式计算解答．
16．【答案】；
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴在中，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，过作交延长线于，过作于，则，
∵，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
设，
在中，，，
由勾股定理得
解得(负值舍去) ，
则，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
设，
在中，，，由勾股定理得，
解得(负值舍去)，
则，
在中，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据度角所对的直角边等于斜边的一半求出长，再利用垂径定理，根据得到，即可得到结论；
（2）连接，，过作交延长线于，过作于，求得，即可得到、是等腰直角三角形，根据勾股定理求出CN和CM值，再根据勾股定理求出的值即可．
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】实数的运算；分式的加减法
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、立方根的的定义、负整数指数幂的性质及去括号法则分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算，进而将分子利用平方差公式分解因式后约分化简即可.
18．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
19．【答案】解：选择③，，
证明如下： ，
，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到 根据补充条件，利用AAS得到根据对应边相等得到结论即可．
20．【答案】（1）
（2）
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，七年级优秀率为，平均成绩为：，
八年级优秀率为，平均成绩为：，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为
∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为
故答案为：．
（2）∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，
第名学生为分，第名学生为分，
∴，
，
故答案为：．
【分析】（1）用七年级活动10名学生数乘以7分的占比求出人数，利用扇形统计图‘根据’众数的定义解题；
（2）根据中位数的定义，结合表格得出中间两名学生成绩为分和分，即可得到，的值；
（3）分别得到七年级与八年级的优秀率与平均成绩，然后比较解题即可．
21．【答案】（1）证明：∵∠ADC＝∠G，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴
∴，
∴，
∴∠1＝∠2；
（2）解：连接OD、FD，
∵，，
∴点C、D关于直径AB对称，
∴AB垂直平分CD，
∴FC＝FD，CE＝DE＝CD，∠DEB＝90°，
∵点C关于DG的对称点为F，
∴DG垂直平分FC，
∴FD＝CD，
又∵CF＝10，
∴FC＝FD＝CD＝10，
∴DE＝CD＝5，
∵在Rt△DEB中，tan∠1＝
∴，
∴，
∴BE＝2，
设OB＝OD＝x，则OE＝5－x，
∵在Rt△DOE中，，
∴，
解得：
∴⊙O的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；已知正切值求边长；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到得，利用同弧或等弧所对的圆周角相等得到结论；
（2）连接OD、FD，得到FC＝FD，FD＝CD，即可得到FC＝FD＝CD＝10，DE＝CD＝5，再根据正切的定义求出BE＝2，设OB＝OD＝x，利用勾股定理求出得⊙O的半径解题即可．
22．【答案】（1）900
（2）解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为：．
答：快车的速度为，慢车的速度为
（3）解：由题意，得快车走完全程的时间按为：，
时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：，
则，自变量x的取值范围是
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据图象，得甲、乙两地之间的距为．
故答案为：900；
【分析】（1）借助函数图象回答即可；
（2）利用速度路程时间求出慢车的速度，再根据相遇求出速度和，即可求出快车的速度解答即可；
（3）求出点C的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式即可．
（1）解：根据图象，得
甲、乙两地之间的距为．
故答案为：900；
（2）解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为：．
答：快车的速度为，慢车的速度为；
（3）解：由题意，得快车走完全程的时间按为：，
时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：，
则，自变量x的取值范围是．
23．【答案】（1）解：∵点在二次函数的图象上，∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，
解得，，
∵，
∴
（3）解：∵原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为，
∴根据平移的性质可知，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∵平移后的图象经过原点O，
∴，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出m值即可；
（2）求出抛物线的对称轴为，根据图象开口向上可知时，y随x的增大而减小，即可得到时，求出n的值解题即可；
（3）根据平移规律得出，然后根据题意得到，再把代入解析式求出，即可得到k的取值范围．
（1）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，
解得，，
∵，
∴．
（3）解：∵原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为，
∴根据平移的性质可知，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∵平移后的图象经过原点O，
∴，即，
∴．
24．【答案】（1）解：如图，连接交于点M．由题意可知，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
∴，
解得：，
；
（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，在正方形中，，
，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，
，，
，
，
，
在正方形中，
易证是正方形，
，
，
，
，
由（1）可知垂直平分，
，
如图，当H在上时，
，
由①可知，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
设，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
如图，当H在上时，
，
，
由①可知，
，
设，则，，
在与中，
，
设，
，
，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述：或．
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接交于点M．根据正方形的性质，利用SAS得到，即可得到垂直平分，可以得到，根据即可得到，根据勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可；
（2）①过点H作交于点N，延长交于点M，先证明，即可得到，然后推理得到，根据等边对等角得到，根据可得，，根据对应边成比例解答即可；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，即可得到，进而得到，根据垂直平分线可得，当H在上时，，设，可得，设，根据勾股定理求出m值，在中利用勾股定理求出解答即可；当H在上时，，设，则有，设，根据勾股定理求出n的值，在中根据勾股定理得到y的值解答即可．
1 / 1浙江省杭州市观成教育集团2025年中考数学二模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·杭州模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
【分析】先利用绝对值、相反数的定义，有理数乘方的运算法则计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
2．（2025·杭州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：AB、∵ ，因此A符合题意；B不符合题意；
CD、∵ ，因此C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的性质，对各选项逐一判断即可。
3．（2025·杭州模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，
由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，
故选：A．
【分析】根据主视图、俯视图得到几何体是柱体，再根据左视图确定具体形状解答即可．
4．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
5．（2025·杭州模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方，把每个因数分别乘方，再把幂相乘解答即可．
6．（2025·杭州模拟）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设经过天相遇，
可列方程为：，
故选：A．
【分析】设经过天相遇，根据“相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程”列方程即可．
7．（2025·杭州模拟）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（　　）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故选：B．
【分析】利用等边对等角和直角三角形的两锐角互余逐项判定可求解．
8．（2025·杭州模拟）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天，
∴，
∴，
当时，，选项正确，
A不符合题意；
当时，，选项正确，
B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，选项错误，
C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，选项正确，
D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据“淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天”得到反比例函数关系式，进而根据反比例函数的图象与性质结合选项逐一分析即可求解。
9．（2025·杭州模拟）如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．9
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，作于点，
则，
，分别与扇形相切于点，，，，
，，，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】连接，作于点，根据相切线长定理得到，然后根据勾股定理求得，然后得到是矩形，即可得到，，再根据勾股定理得到，求出AD长解答即可．
10．（2025·杭州模拟）如图，在中，，相交于点，过点作，，，．记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过作交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴的面积，
∴，
∴，即．
故答案为：B．
【分析】过作交的延长线于，利用平行四边形的性质可得，，，，进而得到，，利用勾股定理可得CE长，进而求出BC长，利用等积法求出关系式即可．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025·杭州模拟）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接，数据384000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示方法：为所有整数位的个数减1．
12．（2025·杭州模拟）方程的解是　 　；．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴原方程的解为或；
故答案为或．
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
13．（2025·杭州模拟）已知一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是　 　
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴ 方程组 的解.
故答案为：.
【分析】利用一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标，可得到方程组的解.
14．（2025·杭州模拟）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有编号不同)，编号分别为1，2，3，5。从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是　 　。
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表格为，
　 1 2 3 5
1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 5+1=6
2 1+2=3 2+2=4 3=2=5 5+2=7
3 1+3=4 2+3=5 3=3=6 5+3=8
5 1+5=6 2+5=7 3+5=8 5=5=10
编号之和为偶数的情况有10个，总数有16个。
∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 。
故答案为： .
【分析】由题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，再根据树状图求出所有的可能的结果数及两次摸出的球的编号之和为偶数的情况数，然后利用概率公式可求解。
15．（2025·杭州模拟）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是　 　；方差是　 　（精确到0.1）．
【答案】23；2.6
【知识点】中位数；方差
【解析】【解答】解：此组数据从小到大排列为22，23，23，23，25，25，27，由中位数的定义知中位数为23；
平均数；
方差，
∴这组数据的中位数是23；方差是2.6．
故答案为：23，2.6．
【分析】根据中位数的定义以及方差公式计算解答．
16．（2025·杭州模拟）点A，B在半径为2的上，，，垂足为C．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线上方），连接．
（1）如图1，当时，　 　；
（2）如图2，当时，　 　．
【答案】；
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴在中，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，，过作交延长线于，过作于，则，
∵，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
设，
在中，，，
由勾股定理得
解得(负值舍去) ，
则，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
设，
在中，，，由勾股定理得，
解得(负值舍去)，
则，
在中，
，
故答案为：．
【分析】（1）根据度角所对的直角边等于斜边的一半求出长，再利用垂径定理，根据得到，即可得到结论；
（2）连接，，过作交延长线于，过作于，求得，即可得到、是等腰直角三角形，根据勾股定理求出CN和CM值，再根据勾股定理求出的值即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2025·杭州模拟）计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】实数的运算；分式的加减法
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、立方根的的定义、负整数指数幂的性质及去括号法则分别化简，再计算有理数的加减法运算即可；
（2）根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减进行计算，进而将分子利用平方差公式分解因式后约分化简即可.
18．（2025·杭州模拟）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：

【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】求出两个不等式的解集，利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分解答即可．
19．（2025·杭州模拟）问题：如图，在中，点E，点F在对角线AC上（不与点A，点C重合），连接BE，DF．若______，求证：．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答．
【答案】解：选择③，，
证明如下： ，
，
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得到 根据补充条件，利用AAS得到根据对应边相等得到结论即可．
20．（2025·杭州模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级名学生活动成绩统计表
成绩/分
人数
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分；
（2）______________，______________；
（3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，七年级优秀率为，平均成绩为：，
八年级优秀率为，平均成绩为：，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为
∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为
故答案为：．
（2）∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，
第名学生为分，第名学生为分，
∴，
，
故答案为：．
【分析】（1）用七年级活动10名学生数乘以7分的占比求出人数，利用扇形统计图‘根据’众数的定义解题；
（2）根据中位数的定义，结合表格得出中间两名学生成绩为分和分，即可得到，的值；
（3）分别得到七年级与八年级的优秀率与平均成绩，然后比较解题即可．
21．（2025·杭州模拟）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵∠ADC＝∠G，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴
∴，
∴，
∴∠1＝∠2；
（2）解：连接OD、FD，
∵，，
∴点C、D关于直径AB对称，
∴AB垂直平分CD，
∴FC＝FD，CE＝DE＝CD，∠DEB＝90°，
∵点C关于DG的对称点为F，
∴DG垂直平分FC，
∴FD＝CD，
又∵CF＝10，
∴FC＝FD＝CD＝10，
∴DE＝CD＝5，
∵在Rt△DEB中，tan∠1＝
∴，
∴，
∴BE＝2，
设OB＝OD＝x，则OE＝5－x，
∵在Rt△DOE中，，
∴，
解得：
∴⊙O的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；已知正切值求边长；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到得，利用同弧或等弧所对的圆周角相等得到结论；
（2）连接OD、FD，得到FC＝FD，FD＝CD，即可得到FC＝FD＝CD＝10，DE＝CD＝5，再根据正切的定义求出BE＝2，设OB＝OD＝x，利用勾股定理求出得⊙O的半径解题即可．
22．（2025·杭州模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：
信息读取：
（1）甲、乙两地之间的距离为 ；
（2）求慢车和快车的速度；
（3）求线段所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）900
（2）解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为：．
答：快车的速度为，慢车的速度为
（3）解：由题意，得快车走完全程的时间按为：，
时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：，
则，自变量x的取值范围是
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：根据图象，得甲、乙两地之间的距为．
故答案为：900；
【分析】（1）借助函数图象回答即可；
（2）利用速度路程时间求出慢车的速度，再根据相遇求出速度和，即可求出快车的速度解答即可；
（3）求出点C的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式即可．
（1）解：根据图象，得
甲、乙两地之间的距为．
故答案为：900；
（2）解：由题意，得
快车与慢车的速度和为：，
慢车的速度为：，
快车的速度为：．
答：快车的速度为，慢车的速度为；
（3）解：由题意，得快车走完全程的时间按为：，
时两车之间的距离为：．
则．
设线段的解析式为，由题意，得
，
解得：，
则，自变量x的取值范围是．
23．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当时，函数值的取值范围是，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在二次函数的图象上，∴，
解得，
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，
解得，，
∵，
∴
（3）解：∵原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为，
∴根据平移的性质可知，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∵平移后的图象经过原点O，
∴，即，
∴
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把代入解析式求出m值即可；
（2）求出抛物线的对称轴为，根据图象开口向上可知时，y随x的增大而减小，即可得到时，求出n的值解题即可；
（3）根据平移规律得出，然后根据题意得到，再把代入解析式求出，即可得到k的取值范围．
（1）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，
解得，，
∵，
∴．
（3）解：∵原二次函数的解析式为，平移后的图象对应的函数表达式为，
∴根据平移的性质可知，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∵平移后的图象经过原点O，
∴，即，
∴．
24．（2025·杭州模拟）已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．
（1）如图，如果，求线段的长
（2）过点E作，垂足为点G，与交于点H．
①求证：；
②设的中点为点O，如果，求的值．
【答案】（1）解：如图，连接交于点M．由题意可知，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
∴，
解得：，
；
（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，在正方形中，，
，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，
，，
，
，
，
在正方形中，
易证是正方形，
，
，
，
，
由（1）可知垂直平分，
，
如图，当H在上时，
，
由①可知，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
在与中，
，
设，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴；
如图，当H在上时，
，
，
由①可知，
，
设，则，，
在与中，
，
设，
，
，
，
∴，
解得，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述：或．
【知识点】正方形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）连接交于点M．根据正方形的性质，利用SAS得到，即可得到垂直平分，可以得到，根据即可得到，根据勾股定理得到，然后根据线段的和差解答即可；
（2）①过点H作交于点N，延长交于点M，先证明，即可得到，然后推理得到，根据等边对等角得到，根据可得，，根据对应边成比例解答即可；
②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，即可得到，进而得到，根据垂直平分线可得，当H在上时，，设，可得，设，根据勾股定理求出m值，在中利用勾股定理求出解答即可；当H在上时，，设，则有，设，根据勾股定理求出n的值，在中根据勾股定理得到y的值解答即可．
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