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2024-2025学年北京市西城区第十三中学分校七年级下学期开学考数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（）号面．
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
2.图表示甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程各自所需的天数．
（1）工作效率最高的工人是___________．
（2）乙的工作效率是丙的___________（填分数）．
（3）甲、乙合作，完成全工程需要___________天．
A. （1）甲：（2）；（3） B. （1）甲：（2）；（3）
C. （1）乙：（2）；（3） D. （1）乙；（2）；（3）
3.把一个扇形的圆心角扩大到原来2倍，半径缩小到原来的一半，则其面积变为原来的（）
A. 2倍 B. 4倍 C. D.
4.某校买来7只篮球和10只足球共付1230元．已知每只足球的价钱是每只篮球价钱的2倍少12元，问每只篮球和足球各多少元？
A. 篮球每只50元，足球每只88元 B. 篮球每只60元，足球每只88元
C. 篮球每只60元，足球每只108元 D. 篮球每只55元，足球每只98元
5.如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中厘米，厘米，求的长度．（　　）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
6.流水线上生产小木珠的涂色顺序是：先5个红球，再4个黄球，再3个绿球，再1个白球，然后依次是5红，4黄，3绿，1白……，这样不断进行下去，则第2019个小木珠的颜色是（）
A. 红 B. 黄 C. 绿 D. 白
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.1.25升 立方厘米
8.把化简为最简整数比是 ．
9.计算： ．
10.甲乙丙三个数，甲比乙的3倍多3，丙比乙的2倍少5．设乙是，那么甲是 ，丙是 ．
11.商店进了一批笔记本，按照的利润率定价，当售出这批笔记本的之后，为了尽早卖完，商店把这批笔记本按照五折出售，求卖完这批笔记本后商店的实际利润率是 ．
12.如图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积为 ．
13.一个三位数，既是3的倍数，又是5的倍数，它百位上是最小的质数，十位上的数是最小的奇数，这个数是 ，把它分解质因数是 ．
14.图中有 个三角形．
15.现规定一种运算，，如果，那么 ．
16.如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部最中间的概率是 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：．
18.(本小题8分)
计算：
19.(本小题8分)
计算：
20.(本小题8分)
计算：
21.(本小题8分)
计算：
22.(本小题8分)
解方程：
23.(本小题8分)
解方程：
24.(本小题8分)
如图，求阴影部分的面积和．（取）
25.(本小题8分)
甲、乙两人原来身上的钱分别是丙身上的钱的6倍和5倍，后来甲又收入180元，乙又收入30元，甲身上的钱就是乙的1.5倍，原来甲、乙、丙三人一共有多少钱？（请用方程解）
26.(本小题8分)
如图，在三角形中，，为的中点，若三角形的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
27.(本小题8分)
观察下面的点阵图，探究其中的规律
(1)摆第1个“小屋子”需要5个点：
摆第2个“小屋子”需要___________个点；
摆第3个“小屋子”需要___________个点；
(2)摆第个这样的“小屋子”需要多少个点？
(3)第几个“小屋子”需要95个点？
28.(本小题8分)
某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)张强返回时的速度是______米/分；
(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家
(3)请求出张强出发多长时间与妈妈相距米．
1.【答案】
【解析】【分析】根据展开图中隔一相对的原理解答即可．
本题考查了展开图问题，熟练掌握展开图是解题的关键．
【详解】解：根据展开图中隔一相对的原理，得６和２相对，
故选：B．
2.【答案】
【解析】【分析】根据题意，依次计算判断即可．
本题考查了工程问题，熟练掌握工程问题的解题的思想是解题的关键．
【详解】解：根据题意，
甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，
∵，
∴甲的效率最高，乙的效率最低；
∴，
∴，
故选：A．
3.【答案】
【解析】【分析】根据扇形面积公式，计算解答即可．
本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设原圆心角为θ，半径为r，则原面积．
圆心角变为，半径变为，
则新面积
故选：C．
4.【答案】
【解析】【分析】设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元，根据题意，得到方程，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设每只篮球的价格为x元，则每只足球的价格为元，
根据题意，得到方程，
解得，
．
所以篮球每只50元，足球每只88元．
故选：A．
5.【答案】
【解析】【分析】利用三角形的面积性质，解答即可．
本题考查了三角形的面积性质应用，熟练掌握应用是解题的关键．
【详解】解：设面积相等的小三角形的一份面积为1，
根据同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，
得即，
∴即，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，确定循环节为是5红，4黄，3绿，1白，节数为13，用2019除以13确定余数，根据余数的解答即可．
本题考查了循环节的应用，熟练掌握循环节的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，确定循环节为是5红，4黄，3绿，1白，节数为13，
，
故第2019个珠子的颜色与第四个珠子的颜色相同，为红色，
故选：A．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查了体积的单位换算，掌握1升立方分米立方厘米，是解题的关键；
根据1升立方厘米求解．
【详解】1升立方厘米，
25升立方厘米．
故答案为：1250．
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查比的性质应用，由最简比的定义，直接计算即可得到答案，理解最简比定义，掌握比的性质化简是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了分数的四则混合运算，根据分数的四则混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查了列代数式．根据题意列出代数式即可．
【详解】解：设乙是，那么甲是；
丙是．
故答案为：；．
11.【答案】
【解析】【分析】由“按的利润定价，售出这批笔记本的”这时已得的利润，后来的的笔记本售价是进价的，即亏损，这样就亏损了，至此即可算出商店实际获得的利润百分数了．本题考查了百分数的应用，解题的关键就是把商品分成两部分分别计算各自的盈亏情况最后汇总．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了几何体表面积的计算．由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等，据此求解即可．
【详解】解：由题意得新的几何体的表面积与原立方体的表面积相等，
∴新的几何体的表面积为，
故答案为：600．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了将一个整数分解质因数，质数，奇数，倍数的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键；
根据题中条件确定这个三位数，再把它分解质因数．
【详解】这个三位数是5的倍数，
这个三位数的个位上的数为0或5，
最小的质数是2，最小的奇数是1，百位上是最小的质数，十位上的数是最小的奇数，
这个三位数是210或215，
又215不是3的倍数，
这个三位数是210，
把210分解质因数为，
故答案为：210；．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解．
【详解】解：单独的小三角形有8个，
两层小三角形有4个，
三层小三角形有2个，
共有个，
故答案为：14．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元一次方程以及理解新定义是解题的关键．根据四则运算以及新定义运算，先算出小括号的值是11，再得出方程，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴解得．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查树状图求概率，把每一层的菱形看做一步，经过几层就看做几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加．得到每一个菱形处向左或向右的概率均为，经过某点的概率为该点处的两个概率相加是解决本题的关键．
【详解】解：画出每一个交点处的概率，如图所示：
球落到底部的从左至右的概率依次是：
，
，
，
，
，
则球落到底部最中间的概率是，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】本题考查了运算，涉及加法与减法运算，观察到算式中各项的分数部分都接近1，故可将各项都变形为整数减去一个分数的形式（凑整法），再利用加法运算律进行简便运算即可得到答案．能够根据题中各个带分数的结构特征进行最优变形是解决问题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法；
19.【答案】
【解析】【分析】本题考查了加法结合律、交换律及乘方分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键，运用加法结合律、交换律得，进而运用乘法分配律得，进而求解即可．
20.【答案】
【解析】【分析】本题考查有理数的加减运算．将式子转化为，进行计算即可．
21.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是有理数的混合运算的运算规律的探究．设，则，可求出，从而得到，则原式可变形为，即可求解．
22.【答案】
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程．方程去分母，去括号，移项合并，将未知数的系数化为1，即可求出解．
23.【答案】
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握若，则是解题的关键．
先将，转化为，再解方程即可；
24.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查圆面积的计算，根据题意得到扇形的面积为，长方形的面积为，得到不规则图形的面积为，由阴影部分的面积为扇形的面积与不规则图形的面积的差，由此即可求解．
25.【答案】
【解析】【分析】本题考查一元一次方程解应用题，设丙身上的钱为元，由题意得到甲、乙两人原来身上的钱分别是元和元，以及后来甲、乙两人身上的钱分别是元和元，再由等量关系列方程求解即可得到答案．读懂题意，准确列出一元一次方程求解是解决问题的关键．
26.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用．连接，根据三角形中线的性质，求得和的面积都等于，和的面积相等，设和的面积都等于，利用的面积为，列式计算即可求解．
27.【答案】
【解析】【分析】本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．注意由特殊到一般的分析方法．
（1）通过观察已知图形即可得出结果；
（2）通过观察已知图形可以将“小屋子”分为屋顶和屋身两部分，屋顶的点的个数分别是1、3、5、7、，即第个小屋子的屋顶点的个数是；屋身的点的个数分别是4、8、12、，据此可得；
（3）令，解方程即可求出答案．
28.【答案】
【解析】【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键．
（1）由两点的坐标即可求解；
（2）求出点的坐标即可求解；
（3）求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解．
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