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第一章集合与常用逻辑用语 章末检测试题
2025--2026学年上学期高中数学 必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．二元一次方程组 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．满足条件的集合的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知命题p：，或，则命题的否定是（ ）
A．，或 B．，
C．，或 D．，
4．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
5．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使
6．已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
8．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
二、多选题
9．下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（ ）
A． B． C． D．
10．设非空集合P，Q满足，且，则下列选项中错误的是（ ）．
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
11．已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
三、填空题
13．已知集合，，，，则 .
14．设，，为非零实数，则的所有可能取值构成的集合为 ．
15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集QM，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是 ．（填上你认为正确的命题的序号）
16．已知整数集合，，其中，则，，的所有元素之和为124，则集合 ．
17．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为 .
四、解答题
18．已知集合，若，求的值．
19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
(1)求集合；
(2)设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
20．设集合，不等式 的解集为.
（1）当时，求集合，.
（2）当时，求实数的取值范围.
21．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．已知两个关于的一元二次方程和，求两方程的根都是整数的充要条件．
23．给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合C，D为闭集合，且 ， ，证明： .
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B D C C BC CD
题号 11 12
答案 ACD ABD
1．B
【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可.
【详解】由，所以二元一次方程组 的解集是，
故选：B
2．C
【分析】先由可知是的子集，且中必然含有元素，列举即可写出结果.
【详解】因为，所以且，所以可能为或，共2个；
故选C
【点睛】本题主要考查集合间的关系，依题意列举即可，属于基础题型.
3．D
【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】首先确定量词，排除选项A，B；
其次“或”的否定形式为,
故命题p的否定为“，”．
故选：D．
4．C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根，
∴解得.
故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C.
故选：C.
5．B
【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.
【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确；
对选项C：，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.
故选：B
6．D
【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意；
当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；
若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，
综上：实数a满足.
故选：D
7．C
【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合P中的元素，且该子集包含于集合P的补集，用关系式表示出来即可．
【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合P中的元素且在集合P的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
8．C
【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.
【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.

【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
9．BC
【解析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解.
【详解】解：，
因为 ，
， ，
，
所以的一个充分不必要条件有：或.
故选：BC.
10．CD
【分析】由两集合交集的结果推出Q是P的真子集，再根据真子集的概念进行判断.
【详解】因为，且，所以Q是P的真子集，
所以，有，，使得，CD错误.
故选：CD
【点睛】本题考查集合交集的概念、真子集的概念，属于基础题.
11．ACD
【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．
【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，
A正确，B错，C正确，D正确，
故选：ACD．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．
12．ABD
【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．
【详解】令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
13．
【分析】根据题意，分别求得集合，结合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由题意知，集合，，，
可得集合，
集合，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】分别讨论，，全为正数，两正一负，一负两正，全为负数等四种类型，即可得出结果.
【详解】因为，，为非零实数， ，
当，，全为正数时，；
当，为正数，为负数时，；
当，为正数，为负数时，；
当，为正数，为负数时，；
当为正数，，为负数时，；
当为正数，，为负数时，；
当为正数，，为负数时，；
当，，全为负数时，．
故的所有可能取值构成的集合为．
故答案为
【点睛】本题主要考查求集合中的元素，熟记元素与集合之间关系即可，属于常考题型.
15．①④
【详解】解：当a=b时，a-b=0、a b =1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2， Z不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．
故答案为①④．
16．
【分析】根据题意，得到，必分别是某两个整数的平方，再由，，求出，，从而得到，分别讨论，两种情况，即可求出结果.
【详解】∵，∴，必分别是某两个整数的平方，
又，，∴，，
又，集合中元素都为正整数，∴．
①若，则，解得或（舍去）；
②若，则，解得或（舍去）．
∵，∴，．综上，．
故答案为
【点睛】本题主要考查求集合中的元素，熟记交集与并集的概念，以及元素与集合之间关系即可，属于常考题型.
17．0或1或4
【分析】分和两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解.
【详解】若，则，满足为的子集，此时A与B构成“全食”；
若，则，
由与构成“全食”或“偏食”，得或，解得或，
综上，实数的值为0或1或4.
故答案为：0或1或4.
18．-1.
【分析】由集合相等，分析两集合中元素，列出方程组，解得后可求值．
【详解】∵集合，
∴解得，
则．
故答案为：－1．
【点睛】本题考查集合的相等，解题时注意集合中元素的性质，特别是互异性．
19．(1){x|﹣2≤x≤1}
(2)
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．
【详解】（1），则，
又，则；
（2）∵，∴，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围为:
20．（1），；（2）.
【解析】（1）代入即可求得，解一元二次不等式得；（2）注意讨论与的两种情况，最后求解并集即可.
【详解】（1）解：当时，，
解不等式得：，即.
（2）解：若，则有：
①，即，即，符合题意，
②，有，解得：.
综合①②得：.
21．(1)
(2)
【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，
（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，
【详解】（1）由题意得在时恒成立，
∴，得，即.
（2）不等式，
①当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；
②当，即时，解集，满足题设条件.
③当，即时，解集，
若是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，此时，
综上①②③可得.
22．
【详解】∵是一元二次方程，∴ ．
又另一方程为，且两方程都要有实根，
∴
解得．
∵两方程的根都是整数，
∴其根的和与积也为整数，
即
∴为的约数．
又∵，
∴
当时，第一个方程可化为，其根不是整数；
当，第一个方程可化为，其根不是整数；
当，第一个方程可化为，其根不是整数；
当时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是 ．
考点：充分必要条件.
23．(1)不是闭集合，B为闭集合，证明见解析
(2)不一定，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据闭集合的定义判断即可；（2）举例子，，由，即可求解；（3）利用反证法，假设，由条件可得存在，，，，可得或，与和为闭集合矛盾，即可求证.
【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合；
任取，，设，，，，则且，所以，同理，，故B为闭集合；
（2）结论：不一定；
不妨令，，则由（1）可知， D为闭集合，同理可证为闭集合，因为2，3，，因此，不一定是闭集合，所以若集合C，D为闭集合，则不一定为闭集合；
（3）不妨假设，则由 ，可得存在且，故.同理，存在且，故，因为，所以或.若，则由C为闭集合且，得，与矛盾.若，则由D为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故 .
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