资源简介

13.3.2　三角形的外角
A层基础夯实
知识点1　三角形外角的性质
1.如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为 (D)
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
2.如图,∠3=120°,则∠1-∠2=　60°　.
3. (2025·焦作期中)如图,在△ABC中,∠CAE=22°,∠C=47°,∠CBD=30°.
(1)求∠AFB的度数;
(2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数.
【解析】(1)∵∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=47°,∠CAE=22°,
∴∠AEB=69°.
∵∠CBD=30°,
∴∠AFB=69°+30°=99°.
(2)∵∠BAF=2∠ABF,∠AFB=99°,
∴3∠ABF=180°-99°,
∴∠ABF=27°,
∴∠BAF=54°.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=∠B,求证:∠BAD=∠CDE.
【证明】∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,
又∵∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠CDE.
知识点2　三角形外角性质与其他知识的综合
5.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,若∠BCA=88°,则∠B+∠E的值是 (A)
A.46° B.45° C.44° D.43°
6.如图,BC∥DE,∠ABF=110°,∠AED=80°,则∠A的度数是 (B)
A.20° B.30° C.35° D.40°
7.如图,在△ABC中,∠ABC=110°,点D在AC边上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC边上的点E处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为　22.5°　.
8. (2025·南宁期中)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,∠A=66°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC=124°,求∠ACB的度数.
【解析】(1)∵BD⊥AC,
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵∠A=66°,
∴∠ABD=90°-∠A=24°.
(2)∵∠BEC是△DEC的一个外角,∠BEC=124°,
∴∠DCE=∠BEC-∠BDC=34°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=68°.
B层能力进阶
9.如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB= (A)
A.70° B.65° C.60° D.50°
10.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E.以下结论:①∠OCE=90°,②∠1=2∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=3∠2,其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画(如图),已知∠BAC=125°,AB∥DE,∠D=85°,则∠ACD=　30°　.
12.如图,在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为　208°　.
13.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,
(1)求∠B的度数;
(2)如图①,若CE⊥AD于点F,交AB于点E,求∠ECD的度数;
(3)如图②,若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点F,求∠AFC的度数.
【解析】(1)∵∠BAC=60°,
∴∠B+∠ACB=180°-60°=120°.
∵∠ACB=2∠B,
∴∠B+2∠B=120°,即3∠B=120°,
∴∠B=40°.
(2)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°.
∵CE⊥AD,∴∠AFC=∠AFE=90°,
∴∠AEC=∠ACE=60°.
∴∠B+∠ECB=60°.
∵∠B=40°,∴∠ECD=60°-40°=20°.
(3)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAD=30°.
∵∠B=40°,∠ACB=2∠B,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+30°=70°,∠ACB=80°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACB=40°.
∴∠AFC=∠ADC+∠BCE=70°+40°=110°.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图1,一张三角形纸片,点D,E分别是△ABC边上两点.
(1)如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA'与∠A的数量关系是________　　.
(2)如果折成图2的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系.
(3)如果折成图3的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系是________　　.
【解析】(1)根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,∠BDA'是△A'DA的一个外角,所以∠BDA'=∠A+∠DA'E,
即∠BDA'=2∠A.
答案:∠BDA'=2∠A
(2)根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,
∵∠A+∠AED+∠ADE=∠A'+∠A'ED+∠A'DE=180°,
故∠A+∠DA'E+∠AEA'+∠ADA'=360°,
即∠A+∠DA'E=360°-∠ADA'-∠A'EA,
∵∠BDA'+∠ADA'=180°,∠CEA'+∠A'EA=180°,
∴∠BDA'+∠CEA'=360°-∠ADA'-∠A'EA,
∴∠BDA'+∠CEA'=∠A+∠DA'E,
∴∠BDA'+∠CEA'=2∠A.
(3)理由:根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,
DA'交AC于点F,如图:
由三角形的外角性质得,∠BDA'=∠A+∠DFA,
∠DFA=∠A'+∠CEA',
∴∠BDA'=∠A+∠A'+∠CEA',
∴∠BDA'-∠CEA'=∠A+∠A',
即∠BDA'-∠CEA'=2∠A.
答案:∠BDA'-∠CEA'=2∠A13.3.2　三角形的外角
A层基础夯实
知识点1　三角形外角的性质
1.如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为 ()
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
2.如图,∠3=120°,则∠1-∠2= .
3. (2025·焦作期中)如图,在△ABC中,∠CAE=22°,∠C=47°,∠CBD=30°.
(1)求∠AFB的度数;
(2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=∠B,求证:∠BAD=∠CDE.
知识点2　三角形外角性质与其他知识的综合
5.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,若∠BCA=88°,则∠B+∠E的值是 ()
A.46° B.45° C.44° D.43°
6.如图,BC∥DE,∠ABF=110°,∠AED=80°,则∠A的度数是 ()
A.20° B.30° C.35° D.40°
7.如图,在△ABC中,∠ABC=110°,点D在AC边上,将△ABD沿BD折叠,点A落在BC边上的点E处,若∠EDC=25°,则∠C的度数为 .
8. (2025·南宁期中)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,∠A=66°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC=124°,求∠ACB的度数.
B层能力进阶
9.如图为商场某品牌椅子的侧面图,∠DEF=120°,DE与地面平行,∠ABD=50°,则∠ACB= ()
A.70° B.65° C.60° D.50°
10.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于点O,CE为外角∠ACD的平分线,BO的延长线交CE于点E.以下结论:①∠OCE=90°,②∠1=2∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=3∠2,其中正确的有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画(如图),已知∠BAC=125°,AB∥DE,∠D=85°,则∠ACD= .
12.如图,在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中,∠D=28°,则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为 .
13.在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点D,
(1)求∠B的度数;
(2)如图①,若CE⊥AD于点F,交AB于点E,求∠ECD的度数;
(3)如图②,若CE平分∠ACB交AB于点E,交AD于点F,求∠AFC的度数.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图1,一张三角形纸片,点D,E分别是△ABC边上两点.
(1)如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA'与∠A的数量关系是________ .
(2)如果折成图2的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系.
(3)如果折成图3的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系是________ .

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