资源简介

14.2　三角形全等的判定(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　 用“SAS”判定两个三角形全等
1.(2025·湘潭期中)如图,已知∠ABC=∠DCB,能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是(A)
A.AB=DC　　　　　　 B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC D.AC=DB
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则　△ADC　≌△AEB,理由是　SAS　.
3. (2024·乐山中考)如图,AB是∠CAD的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D.
【证明】∵AB是∠CAD的平分线,
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中,,
∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D.
知识点2　用“SAS”判定两个三角形全等的综合应用
4.如图,在△ABC中,AB=BC,BD=CE,∠ABC=∠C=60°,则∠APE的度数是 (C)
A.70° B.65° C.60° D.55°
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加辅助线的情况下,图中全等三角形共有　3　对.
6.如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
【解析】∵AC=BD,OA=OD,
∴AC-OA=BD-OD,即OC=OB.
在△COD和△BOA中,,
∴△COD≌△BOA(SAS),∴CD=AB.
∵△COD的周长为103 m,
∴OC+OD+CD=OC+OA+CD=103 m,
即AC+CD=103 m.
∵AC=55 m,∴CD=48 m,∴AB=48 m.
知识点3　用SSA不一定能判定两个三角形全等
7.下列说法正确的是 (D)
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
8.下列是胡老师带领学生,探究SSA是否能判定两个三角形全等的过程,请帮助他们完成填空.
如图,已知CD=CB,
在△ABC和△ADC中,
AC=　AC　,(　公共边　)
CB=　CD　,(　已知　)
∠A=∠A,(　公共角　)
则△ABC和△ADC满足两边及其中一边的对角分别相等,即满足“　SSA　”(字母表示),
很显然:△ABC　不全等于　△ADC,(填“全等于”或“不全等于”)
下结论:SSA　不能　(填“能”或“不能”)判定两个三角形全等.
B层能力进阶
9.(2025·广州质检)如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD和△ACD的面积相等;②∠BAD=∠CAD;③BF∥CE;④CE=AE.其中正确的有 (B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(易错警示·忽略三角形边的对应)如图,AB=8 cm,∠A=∠B=60°,AC=BD=6 cm,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上以x cm/s 的速度由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).当△ACP与△BPQ全等时,x的值是(B)
A.2　B.1或1.5　C.2或1.5　D.1或2
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A=　72°　.
12.如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),都为2米,他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等,于是制定了如下方案:
探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为5米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2米,AB=4米
请你根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等,并说明理由.
【解析】BC=EF,理由如下:∵EH=HD=AC=2米,DF=2米,AB=4米,∴AC=DF,AB=DE,
∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴BC=EF.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,已知△ABC和△ADE中,AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α.
(1)如图1,若CE和BD相交于点F,当α=90°时,请猜想CE和BD的关系是________　　.
(2)若α=90°,△ABC与△ADE的位置如图2所示,(1)中的结论还成立吗 说明理由.
(3)如图3,BD和CE相交于点F,直接写出∠CFD的度数为________　.(用含α的式子表示)
【解析】(1)如图,记CE与AB的交点为G,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中,,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴CE=BD,∠ACE=∠ABD.
∵∠AGC=∠BGF,
∴∠BFG=∠BAC=90°,
∴CE⊥BD,
即CE和BD的关系是CE=BD且CE⊥BD.
答案:CE=BD且CE⊥BD
(2)成立,理由如下:
如图,延长CE分别交BD,AB于点H,K,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中,
,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴CE=BD,∠ACE=∠ABD.
∵∠AKC=∠BKH,
∴∠BAC=∠BHC=90°,
∴CH⊥BD,即CE⊥BD.
(3)同(1)可证△ACE≌△ABD,
∴∠ACE=∠ABD.
记CE与AB的交点为M,
∵∠AMC=∠BMF,
∴∠BAC=∠BFC=α,
∴∠CFD=180°-∠BFC=180°-α.
答案:180°-α14.2　三角形全等的判定(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　 用“SAS”判定两个三角形全等
1.(2025·湘潭期中)如图,已知∠ABC=∠DCB,能直接用“SAS”证明△ABC≌△DCB的条件是()
A.AB=DC　　　　　　 B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DBC D.AC=DB
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则 ≌△AEB,理由是 .
3. (2024·乐山中考)如图,AB是∠CAD的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D.
知识点2　用“SAS”判定两个三角形全等的综合应用
4.如图,在△ABC中,AB=BC,BD=CE,∠ABC=∠C=60°,则∠APE的度数是 ()
A.70° B.65° C.60° D.55°
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加辅助线的情况下,图中全等三角形共有 对.
6.如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
知识点3　用SSA不一定能判定两个三角形全等
7.下列说法正确的是 ()
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
8.下列是胡老师带领学生,探究SSA是否能判定两个三角形全等的过程,请帮助他们完成填空.
如图,已知CD=CB,
在△ABC和△ADC中,
AC= ,(　公共边　)
CB= ,(　已知　)
∠A=∠A,(　公共角　)
则△ABC和△ADC满足两边及其中一边的对角分别相等,即满足“ ”(字母表示),
很显然:△ABC △ADC,(填“全等于”或“不全等于”)
下结论:SSA (填“能”或“不能”)判定两个三角形全等.
B层能力进阶
9.(2025·广州质检)如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD和△ACD的面积相等;②∠BAD=∠CAD;③BF∥CE;④CE=AE.其中正确的有 ()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(易错警示·忽略三角形边的对应)如图,AB=8 cm,∠A=∠B=60°,AC=BD=6 cm,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上以x cm/s 的速度由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).当△ACP与△BPQ全等时,x的值是()
A.2　B.1或1.5　C.2或1.5　D.1或2
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A= .
12.如图,小明在游乐场玩两层型滑梯,每层楼梯的高度相同(EH=HD),都为2米,他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等,于是制定了如下方案:
探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为5米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度 ②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2米,AB=4米
请你根据小明的测量方案和数据,判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等,并说明理由.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,已知△ABC和△ADE中,AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α.
(1)如图1,若CE和BD相交于点F,当α=90°时,请猜想CE和BD的关系是________ .
(2)若α=90°,△ABC与△ADE的位置如图2所示,(1)中的结论还成立吗 说明理由.
(3)如图3,BD和CE相交于点F,直接写出∠CFD的度数为________ .(用含α的式子表示)

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