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14.2　三角形全等的判定(第5课时)
A层基础夯实
知识点1　用“HL”判定两个直角三角形全等
1.如图,已知在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 (A)
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC D.OB=OD
2.已知Rt△ABC,根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是(B)
3.如图,∠B=∠D=90°,请添加一个条件(不得添加辅助线),利用“HL”判定△ABC≌△ADC,那么可添加条件为　AB=AD或BC=CD　.
4.如图,已知AB=AC,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E,BD=AE=3,CE=5.
(1)求DE的长;
(2)求∠BAC的度数.
【解析】(1)∵BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠D=∠E=90°,
∵AB=CA,BD=AE,
∴Rt△BAD≌Rt△ACE(HL),
∴AD=CE=5,∴DE=AE+AD=3+5=8;
(2)∵△BAD≌△ACE,∴∠BAD=∠C,
∵∠E=90°,∴∠C+∠CAE=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∴∠BAC=180°-∠BAD-∠CAE=90°.
知识点2　 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5.如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (D)
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
6.如图,已知AC⊥BD,AD=EC,∠D=∠C,AB=5 cm,BC=6.5 cm,且点B在线段AC上.则DE的长为　1.5 cm　.
7. (2025·杭州质检)如图,△ABC的两条高AD,CE交于点F,AF=BC.
(1)求证:△AEF≌△CEB.
(2)若BE=4,CF=5,求AE的长度.
【解析】(1)∵△ABC的两条高AD,CE交于点F,
∴∠BEC=∠ADB=90°,
∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90°,
∴∠BCE=∠DAB,
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(AAS).
(2)∵△AEF≌△CEB,
∴EF=BE=4,AE=CE,
∴AE=CE=CF+EF=5+4=9.
B层能力进阶
8.(易错警示·忽略三角形的对应边)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,PQ=AB,当△PAQ与△ABC全等时,AP的长度为 (B)
A.6　　B.6或12　　C.8　　D.8或12
9.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有(A)
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
10.如图,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠B的度数为　55°　.
11.已知,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M(-1,3),OM=ON,OM⊥ON,则N点坐标为 　(3,1)或(-3,-1)　.
12. (2025·南京质检)已知:如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AF=BE,AC=BD.请问BC和AD有怎样的关系 说明理由.
【解析】BC=AD且BC∥AD,理由如下:
∵AC⊥CE,BD⊥DF,
∴∠ACE=∠BDF=90°,
∵AF=BE,
∴AF+EF=BE+EF,即AE=BF,
在Rt△ACE和Rt△BDF中,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),
∴CE=DF,∠AEC=∠BFD,
∴∠CEB=∠AFD,
在△CEB和△DFA中,
∴△CEB≌△DFA(SAS),
∴BC=AD,∠CBE=∠DAF,∴BC∥AD,
∴BC=AD且BC∥AD.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,CE=CF.求证:AE=AF.
【证明】如图所示,连接AC,
在Rt△BEC和Rt△DFC中,
∴Rt△BEC≌Rt△DFC(HL),
∴BC=DC,
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴AB=AD,
∵BE=DF,∴AB-BE=AD-DF,
∴AE=AF.14.2　三角形全等的判定(第5课时)
A层基础夯实
知识点1　用“HL”判定两个直角三角形全等
1.如图,已知在△ABO和△DCO中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ()
A.AB=DC B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC D.OB=OD
2.已知Rt△ABC,根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是()
3.如图,∠B=∠D=90°,请添加一个条件(不得添加辅助线),利用“HL”判定△ABC≌△ADC,那么可添加条件为 .
4.如图,已知AB=AC,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E,BD=AE=3,CE=5.
(1)求DE的长;
(2)求∠BAC的度数.
知识点2　 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5.如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ()
A.AB=DC,∠B=∠C
B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF
D.AB=DF,BE=CF
6.如图,已知AC⊥BD,AD=EC,∠D=∠C,AB=5 cm,BC=6.5 cm,且点B在线段AC上.则DE的长为 .
7. (2025·杭州质检)如图,△ABC的两条高AD,CE交于点F,AF=BC.
(1)求证:△AEF≌△CEB.
(2)若BE=4,CF=5,求AE的长度.
B层能力进阶
8.(易错警示·忽略三角形的对应边)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,PQ=AB,当△PAQ与△ABC全等时,AP的长度为 ()
A.6　　B.6或12　　C.8　　D.8或12
9.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有()
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
10.如图,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠B的度数为 .
11.已知,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M(-1,3),OM=ON,OM⊥ON,则N点坐标为 .
12. (2025·南京质检)已知:如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AF=BE,AC=BD.请问BC和AD有怎样的关系 说明理由.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,CE=CF.求证:AE=AF.

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