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幂函数重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
6．已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若存在实数t使得方程有两个不同的正实数根，则正实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数是奇函数且为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 .
14．已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
15．已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 .
16．已知函数为指数函数，为幂函数，若，且，则 ．
17．请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
四、解答题
18．如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成．
(1)已知，求的取值范围；
(2)若方程存在实数解，求的取值范围．
19．已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C B B D C A D
题号 11 12
答案 BD AC
1．C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
3．D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
4．C
【分析】运用不等式性质，结合对数函数和幂函数性质和举反例可判断.
【详解】，则，则,故A错误；
，则，则，则，故B错误；
，则令，则，故D错误.
根据幂函数在上单调递增，且，则，故.故C正确.
故选：C.
5．B
【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
6．B
【分析】构造函数，根据函数的单调性，即可求出相应区间的值域，即可判断结果.
【详解】设，，，
根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性可知：
在上，单调递减，值域为，即，
在上，单调递增，值域为，即，
在上，单调递减，值域为，即，所以.
故选：B
7．D
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域.
【详解】函数的定义域为，
又与在上均单调递增，
所以在上单调递增，
，故的值域为.
故选：D.
8．C
【分析】根据对应幂函数的单调性及分段函数存在两个自变量对应同一函数值有，即可求范围.
【详解】由在上单调递增，
若存在实数t使得方程有两个不同的正实数根，
只需，又，
所以.
故选：C
9．A
【分析】由已知可得且，分别作出相关的函数图象即可求解.
【详解】由，得
所以方程的实根为，方程的实根为，
在同一坐标系下画出的图象，显然，
故选:A．
10．D
【分析】由函数的单调性可得当时，，则由时，恒成立求解即可.
【详解】函数在R上单调递减，当时，，
则当时，恒成立，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
11．BD
【分析】根据一次函数的性质判断AB；根据反比例函数性质判断C；根据幂函数性质判断D.
【详解】函数是一次函数，在上是减函数，故选项A错误；
函数在上是增函数，故选项B正确；
函数在上是减函数，在上是减函数，故选项C错误；
函数是幂函数，指数，所以函数在上是增函数，故选项D正确.
故选：BD
12．AC
【分析】利用函数奇偶性的定义、基本初等函数的单调性以及导数法逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数是定义域为上的奇函数，且为增函数，A满足条件；
对于B选项，设，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，B不满足条件；
对于C选项，设，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，C满足条件；
对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足条件.
故选：AC.
13．或
【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.
【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，
所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.
故答案为：或
14．（不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，
所以可以为偶函数，不妨取，
此时，函数定义域为，
且，故为偶函数，
满足在区间上单调递减.
故答案为：（不唯一）
15．3或4（写对一个即可）
【分析】根据为幂函数，得到，再解不等式即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得，则，
不等式可化为，
解得，所以符合条件的自然数可以是3或4.
故答案为：3或4（写对一个即可）
16．/0.5
【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出，直接代入求解.
【详解】因为为指数函数，为幂函数，
所以可设（，且），（是常数）.
∵，，
∴，∴，
∴，
∴．
故答案为：.
17．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的，，
，
则，
当且仅当时取等号，
即，即满足③，
故答案为：
18．(1)
(2)
【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
（2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，解得，故.
因为函数在上严格减，
由可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解，
则的取值范围即为函数的值域，
由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为，
所以，即，解得或，
因此，实数的取值范围是.
19．
【分析】先由函数在上增函数，求得再由，得，然后分别讨论函数的奇偶性可得答案.
【详解】因为在上是增函数，所以，解得
又因为，所以，
当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去，
当时，为偶函数，符合题意，
当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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