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14.3　角的平分线
A层基础夯实
知识点1　角平分线的性质
1.如图,已知点P在∠AOB的平分线OC上,PF⊥OA于点F,PE⊥OB于点E,若PE=3,则PF的长为 ()
A.3 B.2 C.1 D.4
2.(2025·合肥期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2,BC=5,BD是∠ABC的平分线,设△ABD和△BDC的面积分别是S1,S2,则S1∶S2的值为 ()
A. B. C. D.
3.如图,已知点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.求证:OB=OC.
知识点2　 角平分线的判定
4.两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,记两把直尺的接触点为P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连接OP并延长.若∠BOP=25°,则∠AOP的度数为 ()
A.12.5° B.25° C.37.5° D.50°
5.如图,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,已知PC=PD,小明得如下结论:①∠AOB=2∠DOP;②∠CPD=2∠COD;③OC=OD.其中正确的是 (填序号).
知识点3　角平分线的应用
6.如图所示,是一块三角形的草坪(△ABC),现要在草坪上修建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 ()
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点
B.△ABC三个内角的角平分线的交点
C.△ABC三条边上的高的交点
D.△ABC三条中线的交点
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
B层能力进阶
8.如图,在直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-4),AB=12,那么△ABD的面积为 ()
A.48 B.24 C.16 D.12
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若AB=5 cm,
AC=4 cm,BC=3 cm,则△ADE的周长为 ()
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有()
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
11.青山村计划在一块周长为60 m的三角形闲置土地上挖一口水井,使得水井到土地边沿的距离相等,已知这块土地的面积是600 m2,那么这口水井到土地边沿的距离是 .
12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是________________ .
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)(2025·大连质检)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
(1)如图1,若∠A=46°,求∠E的度数;
(2)如图2,过点E作EM⊥BC,EN⊥BA,垂足分别为M,N,若AN=2,CM=4,求AC的长.14.3　角的平分线
A层基础夯实
知识点1　角平分线的性质
1.如图,已知点P在∠AOB的平分线OC上,PF⊥OA于点F,PE⊥OB于点E,若PE=3,则PF的长为 (A)
A.3 B.2 C.1 D.4
2.(2025·合肥期末)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2,BC=5,BD是∠ABC的平分线,设△ABD和△BDC的面积分别是S1,S2,则S1∶S2的值为 (B)
A. B. C. D.
3.如图,已知点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.求证:OB=OC.
【证明】∵点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,
∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°.
在△BEO和△CDO中,
∴△BEO≌△CDO(ASA),
∴OB=OC.
知识点2　 角平分线的判定
4.两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放,记两把直尺的接触点为P,其中一把直尺边缘和射线OA重合,另一把直尺的下边缘与射线OB重合,连接OP并延长.若∠BOP=25°,则∠AOP的度数为 (B)
A.12.5° B.25° C.37.5° D.50°
5.如图,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,已知PC=PD,小明得如下结论:①∠AOB=2∠DOP;②∠CPD=2∠COD;③OC=OD.其中正确的是　①③　(填序号).
知识点3　角平分线的应用
6.如图所示,是一块三角形的草坪(△ABC),现要在草坪上修建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 (B)
A.△ABC三条边的垂直平分线的交点
B.△ABC三个内角的角平分线的交点
C.△ABC三条边上的高的交点
D.△ABC三条中线的交点
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
【解析】(1)∵DF⊥AB,∴∠DFA=90°,
∴∠DFA=∠C=90°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴CD=FD,
在△CDE和△FDB中,
∴△CDE≌△FDB(SAS).
(2)∵∠C=90°,∠B=40°,
∴∠BAC=90°-∠B=50°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAC=25°,
∵△CDE≌△FDB,
∴∠CED=∠B=40°,
∴∠ADE=∠CED-∠CAD=40°-25°=15°.
B层能力进阶
8.如图,在直角坐标系中,AD是Rt△OAB的角平分线,点D的坐标是(0,-4),AB=12,那么△ABD的面积为 (B)
A.48 B.24 C.16 D.12
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若AB=5 cm,
AC=4 cm,BC=3 cm,则△ADE的周长为 (D)
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有(D)
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
11.青山村计划在一块周长为60 m的三角形闲置土地上挖一口水井,使得水井到土地边沿的距离相等,已知这块土地的面积是600 m2,那么这口水井到土地边沿的距离是　20 m　.
12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是________________　　.
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.
【解析】(1)因为AB⊥OM,AC⊥ON,AB=AC,根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,所以点A在∠MON的平分线上.
答案:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
(2)OA平分∠MON仍然成立;
证明:如图,过点A作AG⊥OM,AH⊥ON,AG交OM于点G,AH交ON于点H.
∴∠AGB=∠AHC=90°,
又∵∠MON=90°,
∴∠GAH=90°,
∴∠GAB+∠BAH=90°,
又∵∠BAC=90°=∠BAH+∠HAC,
∴∠GAB=∠HAC,
在△GAB和△HAC中,
∴△GAB≌△HAC(AAS),
∴AG=AH,
又∵AG⊥OM,AH⊥ON,
∴OA平分∠MON.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)(2025·大连质检)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
(1)如图1,若∠A=46°,求∠E的度数;
(2)如图2,过点E作EM⊥BC,EN⊥BA,垂足分别为M,N,若AN=2,CM=4,求AC的长.
【解析】(1)∵CE平分∠ACD,BE平分∠ABC,
∴∠ACE=∠ECD=∠ACD,
∠ABE=∠CBE=∠ABC,
∵∠BAC=46°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=46°,
∴∠ECD-∠EBD=∠ACD-∠ABC=×46°=23°,
∵∠E=∠ECD-∠EBD,∴∠E=23°;
(2)连接AE,过点E作EF⊥AC于F,
∵BE平分∠ABC,EM⊥BC,EN⊥BA,
∴EM=EN,
同理,EF=EM,
∴EF=EN,
在Rt△FCE和Rt△MCE中,
∴Rt△FCE≌Rt△MCE(HL),
∴CF=CM=4,
同理,AF=AN=2,
∴AC=AF+CF=2+4=6.

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