资源简介

15.1.2　线段的垂直平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　线段的垂直平分线的性质与判定
1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.5
D.10
2.如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的中垂线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为()
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
3.(易错警示题·概念不清)元旦联欢会上,3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时,要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置在△ABC的()
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点
4.风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等,起源于东周春秋时期,距今已有2 000多年的历史,如图是一款风筝骨架的简化图,已知AB=AD,BC=CD,AC=90 cm,BD=60 cm,制作这个风筝需要的布料至少为 cm2.
5.(2025·南京质检)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若BC=15,DE=4,则AD+AE= ;
(2)设直线DM,EN交于点O,判断点O是否在BC的垂直平分线上.
知识点2　互逆命题和互逆定理
6.下列定理中,没有逆定理的是()
A.同旁内角互补,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同位角相等,两直线平行
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
7.命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ,是 命题(填“真”或“假”).
8.写出下列命题的逆命题,并判断此逆命题真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0.
(2)内错角相等.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角.
(4)三角形三个内角的和等于180°.
B层能力进阶
9.(2025·杭州期中)下列命题的逆命题是真命题的是()
A.钝角三角形中有两个锐角
B.如果a=b,那么a2=b2
C.若△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,∠ACB=∠DFE
D.若a=2,则a3=8
10.如图,在△ABC中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是()
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
11.如图,OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线,垂足分别为E,F,且AB=CD,
∠ABD=116°,∠CDB=28°,则∠OBD= °.
12.(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积.15.1.2　线段的垂直平分线(第1课时)
A层基础夯实
知识点1　线段的垂直平分线的性质与判定
1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.4
C.5
D.10
2.如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的中垂线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为(C)
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°
3.(易错警示题·概念不清)元旦联欢会上,3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时,要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置在△ABC的(A)
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点
4.风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”等,起源于东周春秋时期,距今已有2 000多年的历史,如图是一款风筝骨架的简化图,已知AB=AD,BC=CD,AC=90 cm,BD=60 cm,制作这个风筝需要的布料至少为　2 700　cm2.
5.(2025·南京质检)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若BC=15,DE=4,则AD+AE=　　　;
(2)设直线DM,EN交于点O,判断点O是否在BC的垂直平分线上.
【解析】(1)∵边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,∴DB=DA,EA=EC,
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE.
∵BC=15,DE=4,
∴AD+AE=15-4=11.
答案:11
(2)点O在BC的垂直平分线上.
理由:如图,连接OA,OB,OC,
∵OM是AB的垂直平分线,ON是AC的垂直平分线,
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
知识点2　互逆命题和互逆定理
6.下列定理中,没有逆定理的是(D)
A.同旁内角互补,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同位角相等,两直线平行
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
7.命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是　和为0的两个数互为相反数　,是　真　命题(填“真”或“假”).
8.写出下列命题的逆命题,并判断此逆命题真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0.
(2)内错角相等.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角.
(4)三角形三个内角的和等于180°.
【解析】(1)如果a>0,b<0,那么ab<0为真命题;
其逆命题为:如果ab<0,则a>0,b<0,此逆命题为假命题.
(2)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角,逆命题是假命题,原命题是假命题.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角的逆命题是若两个角互为邻补角,则两个角相加等于180°,逆命题是真命题,原命题是假命题.
(4)命题“三角形三个内角的和等于180°”的逆命题为:“内角和等于180°的多边形是三角形”,逆命题是真命题,原命题是真命题.
B层能力进阶
9.(2025·杭州期中)下列命题的逆命题是真命题的是(D)
A.钝角三角形中有两个锐角
B.如果a=b,那么a2=b2
C.若△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,∠ACB=∠DFE
D.若a=2,则a3=8
10.如图,在△ABC中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是(A)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
11.如图,OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线,垂足分别为E,F,且AB=CD,
∠ABD=116°,∠CDB=28°,则∠OBD=　44　°.
12.(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
【证明】(1)∵点D为BC的中点,
∴BD=CD.∵BE∥AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE和△CDA中,
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵点D为BC的中点,AD⊥BC,
∴直线AD为线段BC的垂直平分线,
∴BA=CA.
由(1)可知:△BDE≌△CDA,∴BE=CA,
∴BA=BE.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)∵E为CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=FC.
(2)如图,连接BE,
由(1)已证:△ADE≌△FCE,∴AE=FE,
∵点B在线段AF的垂直平分线上,
∴BE垂直平分AF,∴FB=AB=10,
∵在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,CD=8,AD=FC,
∴四边形ABCD的面积为====40.

展开更多......

收起↑