资源简介

15.1.2　线段的垂直平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　作线段的垂直平分线
1.如图,在△AEF中,尺规作图如下:分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则线段AO为三角形的(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
2.如图,已知线段AB.按下列步骤作图:①分别以点A和B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线l交AB于点C.观察图形,请写出图中线段之间的一个等量关系　AC=BC　.
3.如图,A,B两村在一条小河l的同一侧,要在河边建一自来水厂向两村供水.若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置 (不写作法,保留作图痕迹)
【解析】如图所示,点M即为所求.
知识点2　作图形的对称轴
4.不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(D)
5.观察下面两个图形,解答下列问题:
(1)其中是轴对称图形的为________(填序号);
(2)用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
【解析】(1)两个图形中轴对称图形是图②;
答案:②
(2)如图,直线GM是所求作的对称轴.
知识点3　作垂直
6.已知一条线段AB外有一点C,利用尺规过点C作线段AB的垂线,以下作法正确的是(C)
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以B,D为圆心,大于DB长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,∠CAB=39°,则∠BCF=　39°　.
8.(2025·洛阳期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D为垂足.
(1)作线段CF,使CF⊥AB,点F为垂足(不写作法,只保留痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD与CF交于点O,求证:点O在∠BAC的平分线上.
【解析】(1)如图,线段CF即为所求.
(2)连接AO,如图,
由(1)知:CF⊥AB,
又∵BD⊥AC,
∴∠AFC=∠ADB=90°,
在△ACF与△ABD中,
∴△ACF≌△ABD(AAS),
∴AF=AD,
在Rt△AOF与Rt△AOD中,
∴Rt△AOF≌Rt△AOD(HL),
∴∠BAO=∠CAO,
即点O在∠BAC的平分线上.
B层能力进阶
9.(2025·六安期末)如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是(B)
A.AF=BF　　　　　　
B.AE=AC
C.∠DBF+∠DFB=90°
D.∠BAF=∠EBC
10.下列尺规作图中,能判断线段AD是△ABC中BC边上的中线的是(B)
11.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为　16　.
12.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,根据尺规作图痕迹,∠BDE的度数为　65°　.
13.如图,△ABC.
(1)尺规作图:作BC边上的中线OA,并延长AO,在延长线上截取OD=OA,连接BD,CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:△ABC≌△DCB.
【解析】(1)如图所示:
(2)由(1)可知OA=OD,
∵OA为中线,∴OB=OC,
在△AOC和△DOB中,
∴△AOC≌△DOB(SAS),
∴AC=DB,∠ACB=∠DBC.
在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
C层创新挑战(选做)
14.(2025·重庆期末)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC.小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后,老师给出了一个富有挑战性的题目,利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法,即过点D作AC的垂线,垂足为点E,再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等,从而得到结论,请根据小智他们的思路完成以下作图与填空:
(1)尺规作图:过点D作AC的垂线,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹).
(2)证明:∵AD平分∠BAC,
∴①________.
∵DE⊥AC,∴∠AED=∠B=90°.
又②________.
∴△ABD≌△AED(AAS).
∴③________.
∵S△ABD=AB·DB,S△ACD=AC·DE,
∴=.
小智他们再进一步研究发现,只要一个三角形被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,均有此结论.请你依照题意完成下面命题:
如果一个三角形满足被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④________.
【解析】(1)如图,DE即为所求;
(2)∵AD平分∠BAC,∴①∠DAE=∠DAB,
∵DE⊥AC,∴∠AED=∠B=90°.
又②AD=AD,∴△ABD≌△AED(AAS).
∴③DE=DB,
∵S△ABD=AB·DB,S△ACD=AC·DE,
∴=.
答案:①∠DAE=∠DAB　②AD=AD　③DE=DB.
已知:任意△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,如图所示:
则∠AED=∠AFD=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAF,
∵AD=AD,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴DE=DF.
∵S△ABD=AB·DF,S△ACD=AC·DE,
∴=,
∴如果一个三角形满足被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④相等.
答案:④相等15.1.2　线段的垂直平分线(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　作线段的垂直平分线
1.如图,在△AEF中,尺规作图如下:分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则线段AO为三角形的()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.高线
B.中线
C.角平分线
D.都有可能
2.如图,已知线段AB.按下列步骤作图:①分别以点A和B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线l交AB于点C.观察图形,请写出图中线段之间的一个等量关系 .
3.如图,A,B两村在一条小河l的同一侧,要在河边建一自来水厂向两村供水.若要使自来水厂到两村的距离相等,厂址应选在哪个位置 (不写作法,保留作图痕迹)
知识点2　作图形的对称轴
4.不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是()
5.观察下面两个图形,解答下列问题:
(1)其中是轴对称图形的为________(填序号);
(2)用尺规作图的方法画出其中轴对称图形的对称轴.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
知识点3　作垂直
6.已知一条线段AB外有一点C,利用尺规过点C作线段AB的垂线,以下作法正确的是()
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以B,D为圆心,大于DB长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,∠CAB=39°,则∠BCF= .
8.(2025·洛阳期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D为垂足.
(1)作线段CF,使CF⊥AB,点F为垂足(不写作法,只保留痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD与CF交于点O,求证:点O在∠BAC的平分线上.
B层能力进阶
9.(2025·六安期末)如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是()
A.AF=BF　　　　　　
B.AE=AC
C.∠DBF+∠DFB=90°
D.∠BAF=∠EBC
10.下列尺规作图中,能判断线段AD是△ABC中BC边上的中线的是()
11.如图,在△ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作圆弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E.若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为 .
12.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,根据尺规作图痕迹,∠BDE的度数为 .
13.如图,△ABC.
(1)尺规作图:作BC边上的中线OA,并延长AO,在延长线上截取OD=OA,连接BD,CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:△ABC≌△DCB.
C层创新挑战(选做)
14.(2025·重庆期末)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC.小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后,老师给出了一个富有挑战性的题目,利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法,即过点D作AC的垂线,垂足为点E,再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等,从而得到结论,请根据小智他们的思路完成以下作图与填空:
(1)尺规作图:过点D作AC的垂线,交AC于点E(不写作法,保留作图痕迹).
(2)证明:∵AD平分∠BAC,
∴①________.
∵DE⊥AC,∴∠AED=∠B=90°.
又②________.
∴△ABD≌△AED(AAS).
∴③________.
∵S△ABD=AB·DB,S△ACD=AC·DE,
∴=.
小智他们再进一步研究发现,只要一个三角形被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,均有此结论.请你依照题意完成下面命题:
如果一个三角形满足被其任意一内角的角平分线分为两个三角形,那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④________.

展开更多......

收起↑