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15.3.1　等腰三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的判定
1.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4,则CD的长为(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4
B.5
C.3
D.2
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(B)
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如图,将一张长方形纸片ABCD按图中折叠,折痕为BD,AB=8,BE=10,则重叠部分的面积为　40　.
4.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,角平分线BE交AD于点F,交AC于点E.求证:△AFE是等腰三角形.
【证明】∵∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∵AD是△ABC斜边BC上的高,
∴AD⊥BC,∠EBD+∠BFD=90°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBD,
∴∠AEB=∠BFD.
∵∠BFD=∠AFE,
∴∠AEB=∠AFE,
∴△AFE是等腰三角形.
知识点2　等腰三角形的性质和判定的综合应用
5.如图,DE=11,FG=3,BF,CG分别平分∠ABC,∠ACB,DE∥BC.则BD+CE=(D)
A.3
B.11
C.7
D.8
6.(2024·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为　2　.
7.(2025·常州期中)如图,AB=DC,∠ABC=∠DCB,AC、BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)求证:AO=DO.
【证明】(1)在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
(2)∵△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,AC=BD,∴BO=CO,
∵DO=BD-BO,AO=AC-OC,
∴AO=DO.
知识点3　作等腰三角形
8.(2024·陕西中考)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可.保留作图痕迹,不写作法)
【解析】等腰直角△ABC如图所示(画法不唯一):
B层能力进阶
9.如图,坐标平面内一点A(3,-2),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为(C)
A.2
B.3
C.4
D.1
10.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E,则图中的等腰三角形共有　3　个.
11.如图,点P在△ABC内部,BP平分∠ABC,AP⊥BP,连接PC.若△PBC的面积为1,则△ABC的面积为　2　.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
【证明】(1)∵AB=AE,D为BE的中点,
∴AD⊥BE(等腰三角形三线合一),
∵∠BAC=∠BDA=90°,
∴∠B+∠C=∠B+∠BAD,
∴∠C=∠BAD;
(2)∵AF∥BC,∴∠EAF=∠AEB,
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,
∴∠EAF=∠ABC,
又∵∠BAC=∠AEF=90°,
∴△ABC≌△EAF(ASA),
∴AC=EF.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,BA=BC,点D在边CB上,且DB=DA=AC.
(1)如图1,∠B=________°,∠C=________°.
(2)如图2,若M为线段BC上的点,过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB,AC于点N,E.
①求证:△ANE是等腰三角形.
②试猜想线段BN,CE,CD之间的数量关系,并加以证明.
【解析】(1)∵DB=DA=AC,
∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B,
∴∠C=2∠B,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠C=2∠B,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴2∠B+∠B+2∠B=5∠B=180°,
∴∠B=36°,
∴∠C=72°.
答案:36　72
(2)①由(1)可知,∠ADC=∠C=72°,∠BAD=∠B=36°,
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=36°,
∴∠BAD=∠CAD,
在△AHN和△AHE中,
∴△AHN≌△AHE(ASA),
∴AN=AE,
∴△ANE是等腰三角形.
②CD=BN+CE,证明如下:
由①可知,AN=AE,
∵BA=BC,DB=AC,
∴BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,
∴BN+CE=BC-AE+AE-BD=BC-BD=CD,
即CD=BN+CE.15.3.1　等腰三角形(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　等腰三角形的判定
1.如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4,则CD的长为()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.4
B.5
C.3
D.2
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如图,将一张长方形纸片ABCD按图中折叠,折痕为BD,AB=8,BE=10,则重叠部分的面积为 .
4.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,角平分线BE交AD于点F,交AC于点E.求证:△AFE是等腰三角形.
知识点2　等腰三角形的性质和判定的综合应用
5.如图,DE=11,FG=3,BF,CG分别平分∠ABC,∠ACB,DE∥BC.则BD+CE=()
A.3
B.11
C.7
D.8
6.(2024·重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 .
7.(2025·常州期中)如图,AB=DC,∠ABC=∠DCB,AC、BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)求证:AO=DO.
知识点3　作等腰三角形
8.(2024·陕西中考)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可.保留作图痕迹,不写作法)
B层能力进阶
9.如图,坐标平面内一点A(3,-2),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为()
A.2
B.3
C.4
D.1
10.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠C=45°,AD是BC边上的高,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点F,E,则图中的等腰三角形共有 个.
11.如图,点P在△ABC内部,BP平分∠ABC,AP⊥BP,连接PC.若△PBC的面积为1,则△ABC的面积为 .
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
C层创新挑战(选做)
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在△ABC中,BA=BC,点D在边CB上,且DB=DA=AC.
(1)如图1,∠B=________°,∠C=________°.
(2)如图2,若M为线段BC上的点,过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB,AC于点N,E.
①求证:△ANE是等腰三角形.
②试猜想线段BN,CE,CD之间的数量关系,并加以证明.

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