资源简介

15.3.1　等边三角形
A层基础夯实
知识点1　等边三角形的性质和判定
1.如图,在等边△ABC中,∠1=()
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.(2024·辽宁中考)如图,在长方形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB=()
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
3.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是()
A.2
B.3
C.4
D.6
4.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC= .
5.在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是()
A.8
B.1
C.2
D.4
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC= .
8.上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求从海岛B到灯塔C的距离;
(2)这条船继续向正北航行,问在上午或下午的什么时间船与灯塔C的距离最短
B层能力进阶
9.(2025·南通质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是斜边AB上的高,则下列关系式中不正确的是()
A.CD=AC
B.BD=CD
C.BD=AB
D.BC=AB
10.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE=()
A.18°
B.20°
C.30°
D.15°
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为 .
12.如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若∠CDE=32°,则∠CBD的度数为 .
13.(2025·泉州质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)试判断△ADF的形状,并说明理由;
(2)若AF=BE=2,∠F=30°,求△ABC的周长.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
【阅读材料】小明同学发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形.小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”.
【材料理解】(1)如图1,△ABC与△ADE都是等边三角形,则有△ABD≌________;线段BD和CE的数量关系是________.
【深入研究】(2)如图2,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC =∠DAE=90°,请判断线段BD和CE的数量关系与位置关系,并说明理由.
【深化模型】(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,BD=12,CD=7,则AD=________. 15.3.1　等边三角形
A层基础夯实
知识点1　等边三角形的性质和判定
1.如图,在等边△ABC中,∠1=(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.(2024·辽宁中考)如图,在长方形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB=(C)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
3.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(B)
A.2
B.3
C.4
D.6
4.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=　30°　.
5.在等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试证明你的结论.
【解析】△APQ是等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABP与△ACQ中,
∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,
∴△APQ是等边三角形.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是(A)
A.8
B.1
C.2
D.4
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC=　3　.
8.上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=30°,∠NBC=60°.
(1)求从海岛B到灯塔C的距离;
(2)这条船继续向正北航行,问在上午或下午的什么时间船与灯塔C的距离最短
【解析】(1)∵∠NAC=30°,∠NBC=60°,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NAC,
∴BC=AB=15×(10-8)=30(海里),
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里.
(2)过C作CP⊥AB于P,则线段CP的长即为船与灯塔C的最短距离,∵CP⊥AB,∴∠CPB=90°,
∴∠PCB=90°-∠NBC=30°,
∴PB=BC=15海里,
∴15÷15=1(小时),
∴这条船继续向正北航行,在上午的11时船与灯塔C的距离最短.
B层能力进阶
9.(2025·南通质检)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是斜边AB上的高,则下列关系式中不正确的是(B)
A.CD=AC
B.BD=CD
C.BD=AB
D.BC=AB
10.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE=(D)
A.18°
B.20°
C.30°
D.15°
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为　4　.
12.如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若∠CDE=32°,则∠CBD的度数为　28°　.
13.(2025·泉州质检)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)试判断△ADF的形状,并说明理由;
(2)若AF=BE=2,∠F=30°,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°,
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,
∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
(2)∵AF=AD=BE=2,∠F=30°,
∴∠BDE=∠ADF=∠F=30°.
∵DE⊥BC,
∴∠DEB=90°,
∴DB=2BE=4,
∴AB=AD+DB=6.
∵∠F=30°,∴∠C=60°.
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴△ABC的周长为18.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
【阅读材料】小明同学发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形.小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”.
【材料理解】(1)如图1,△ABC与△ADE都是等边三角形,则有△ABD≌________;线段BD和CE的数量关系是________.
【深入研究】(2)如图2,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC =∠DAE=90°,请判断线段BD和CE的数量关系与位置关系,并说明理由.
【深化模型】(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,BD=12,CD=7,则AD=________.
【解析】(1)∵△ABC与△ADE都是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAE=60°,
AB=AC,AD=AE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
答案:△ACE　BD=CE
(2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴∠BPC=∠BAC=90°,
∴BD⊥CE.
(3)如图,作∠DBH=∠ABC=60°,BD=BH,连接DH,
∴△BDH是等边三角形,
∴DH=BD,∠BDH=60°.
∵∠BDC=60°,
∴D,C,H三点共线,
∴BD=DH=CH+CD.
∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC,
∴∠ABD=∠CBH.
又AB=BC,BD=BH,
∴△ABD≌△CBH(SAS),
∴AD=CH,
∴AD+CD=CH+CD=DH=BD.
又∵BD=12,CD=7,
∴AD=BD-CD=5.
答案:5

展开更多......

收起↑