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17.2　用公式法分解因式(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　完全平方式
1.若y2+12y+k2是完全平方式,则k= .
2.若二次三项式9x2+(2k-2)x+1是一个完全平方式,求k的值.
知识点2　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式
3.下列能用完全平方公式分解因式的是 ()
A.16x2+1 B.x2-2x-1
C.x2-1 D.x2-2x+1
4.若x2-6x+m=(x-n)2,那么m,n的值分别是　　 ()
A.3,3 B.9,3 C.3,-3 D.9,-3
5.(2025·长沙质检)分解因式:-a2-6a-9= .
6.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a= .
知识点3　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用
7.若一个正方形的面积为a2+a+,则此正方形的周长为 .
B层能力进阶
8.将9-6(2m-n)+(2m-n)2分解因式正确的是 ()
A.(3-2m+n)2 B.(3-2m-n)2
C.(3+2m+n)2 D.(3+2m-n)2
9.(2024·威海中考)分解因式:(x+2)(x+4)+1= .
10.若多项式x2-(m+1)x+16是一个完全平方式,则m的值为 .
11.仔细阅读下面例题,解答问题.
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得
x2-4x+m=(x+3)(x+n),
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴解得
∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、运算能力)(2025·邵阳期末)阅读理解题.
定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫作虚数单位.那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫作复数,a叫这个复数的实部,b叫作这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:
(2+i)+(3-4i)=5-3i.
(1)填空:i3=________,2i4=________.
(2)计算:①(2+i)(2-i);②(2+i)2.
(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:
已知:(x+3y)+3i=(1-x)-yi(x,y为实数),求x,y的值.
(4)试一试:请你参照i2=-1这一知识点,将m2+25(m为实数)分解因式为两个复数的积.17.2　用公式法分解因式(第2课时)
A层基础夯实
知识点1　完全平方式
1.若y2+12y+k2是完全平方式,则k=　±6　.
2.若二次三项式9x2+(2k-2)x+1是一个完全平方式,求k的值.
【解析】9x2+(2k-2)x+1=(3x)2±2×3x×1+12=(3x)2±6x+12,即2k-2=±6,解得k=4或-2.
知识点2　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式
3.下列能用完全平方公式分解因式的是 (D)
A.16x2+1 B.x2-2x-1
C.x2-1 D.x2-2x+1
4.若x2-6x+m=(x-n)2,那么m,n的值分别是　　 (B)
A.3,3 B.9,3 C.3,-3 D.9,-3
5.(2025·长沙质检)分解因式:-a2-6a-9=　-(a+3)2　.
6.(2024·广元中考)分解因式:(a+1)2-4a=　(a-1)2　.
知识点3　用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用
7.若一个正方形的面积为a2+a+,则此正方形的周长为　|4a+2|　.
B层能力进阶
8.将9-6(2m-n)+(2m-n)2分解因式正确的是 (A)
A.(3-2m+n)2 B.(3-2m-n)2
C.(3+2m+n)2 D.(3+2m-n)2
9.(2024·威海中考)分解因式:(x+2)(x+4)+1=　(x+3)2　.
10.若多项式x2-(m+1)x+16是一个完全平方式,则m的值为　7或-9　.
11.仔细阅读下面例题,解答问题.
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为(x+n),得
x2-4x+m=(x+3)(x+n),
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴解得
∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.
仿照以上方法解答下面问题:
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.
【解析】设另一个因式为(x+a),得
2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),
则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,
∴解得
故另一个因式为(x+4),k的值为20.
C层创新挑战(选做)
12.(推理能力、运算能力)(2025·邵阳期末)阅读理解题.
定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫作虚数单位.那么形如a+bi(a,b为实数)的数就叫作复数,a叫这个复数的实部,b叫作这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:
(2+i)+(3-4i)=5-3i.
(1)填空:i3=________,2i4=________.
(2)计算:①(2+i)(2-i);②(2+i)2.
(3)若两个复数相等,则它们的实部和虚部必须分别相等,完成下列问题:
已知:(x+3y)+3i=(1-x)-yi(x,y为实数),求x,y的值.
(4)试一试:请你参照i2=-1这一知识点,将m2+25(m为实数)分解因式为两个复数的积.
【解析】(1)∵i2=-1,∴i3=i2·i=-1·i=-i,2i4=2i2·i2=2×(-1)×(-1)=2.
答案:-i　2
(2)①(2+i)(2-i)=-i2+4=1+4=5;
②(2+i)2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i.
(3)∵(x+3y)+3i=(1-x)-yi,
∴x+3y=1-x,3=-y,∴x=5,y=-3.
(4)m2+25=m2-25i2=(m+5i)(m-5i).

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