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2024-2025 学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知复数 = 1 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 12 2 C. 2 D.
1
2
2 1 3.已知角 的终边过点( 2 , 2 )，则 =( )
A. 33 B. 3 C.
3
3 D. 3
3.某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为 87，87，89， ，90，若这组数据
的平均数为 88，则这组数据的中位数为( )
A. 88 B. 87 C. 89 D. 90
4.设 ∈ ，则“ 2 ≤ ≤ 1 +2”是“ +1 ≤ 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.下列命题正确的是( )
A.三个点可以确定一个平面
B.用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形
C.一个棱柱至少有五个面
D.如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行
6.已知集合 = { | = log3 , > 1}
1
， = { | = ( 3 ) , > 1}，则 ∩ =( )
A. { |0 < < 13 } B. { |0 < < 1} C. { |
1
3 < < 1} D.
7.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列错误的是( )
A.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
B.若 ⊥ ， ⊥ ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
D.若 ， ⊥ ，则 ⊥
8.已知 = 35，

为第四象限角，则 tan( + 4 ) =( )
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A. 7 B. 7 C. 1 D. 17 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于平面向量 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若 // , // ，则 //
B.若向量 , 不共线，对于平面内任一向量 ，都存在唯一实数 ， 使 = +
C.若 , 不相等，则 , 一定不共线
D.若| + | = | |，则 ⊥
10.已知函数 ( ) = 2 cos(2 6 )，下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( ) 5 的一条对称轴为 = 6
C. ( )在[ 12 , 3 ]上单调递增
D.将 = 2 的图象上各点的横坐标向右平移6个单位(纵坐标不变)可得 ( )的图象
11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为 1 的中点， 为 的中点， 为棱 上一动点，下列
说法正确的是( )
A.平面 ⊥平面 1
B.直线 1 与平面 1 1的交点 是△ 1 1 的重心
C. 10直线 与直线 1的夹角余弦值为 5
D.三棱锥 4的体积为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 2 = ， 5 = ，则 + = ______．
13.函数 = tan(2 4 )的定义域为______．
14.已知四面体 的各个面均为全等的等腰三角形，且 = = 2 = 4，则该四面体外接球的体积为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 ， 2 21 = + (1 + ) ．
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(1)求 , | 1|；

(2)若 , 1在复平面内的点分别是对应向量 ， 的坐标，且( + 2 ) ⊥ (2 )，求 的值．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 3 = , = 2．
(1)求角 ；
(2)若△ 的面积为 3，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin(2 3 )， ∈ ．
(1)求函数 ( )的单调递减区间；
(2) ( ) = 0 [ , 若方程 在区间 12 3 ]上有解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图(1)，在直角梯形 中， // ，∠ = 2， = = 2 = 4， ， 分别是 ， 的中点，
沿 将梯形 翻折，使 = 2，如图(2)．
(1)证明： / /平面 ；
(2)证明：平面 ⊥平面 ；
(3)求 与平面 所成角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利.布洛卡于 19 世纪提出，它通过等角条件联系三角
形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.
其定义如下：设 是△ 内一点，若∠ = ∠ = ∠ = ，则称点 为△ 的布洛卡点，角 为
△ 的布洛卡角．
如图，在△ 中，记它的三个内角分别为 ， ， ，其对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，点 为△
的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下各题：
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(1)若∠ = 2， = 2， = 1，求 ；
(2)已知 = 6，
①若 = 3，求 2 + 2 + 2的值；
②若 = 2，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.{ | ≠ 32 + 8 , ∈ }
14.9 2
15. (1) ∵ = 2 ，∴ = 2 + ，
∵ 1 = 2 + (1 + )2，∴ 1 = 1 + 2 ，
| 1| = ( 1)2 + 22 = 5；

(2)若 , 1在复平面内的点分别是对应向量 ， 的坐标，
则 (2,1), = ( 1,2)；
+ 2 = ( 2 + 2 , 4 + )，2 = (5,0)，
( + 2 ) ⊥ (2 )，
∴ ( + 2 ) (2 ) = 0；
∴ 5( 2 + 2 ) = 0， = 1．
16.(1)因为 3 = , = 2，
所以 3 = ，
因为 ∈ (0, )，
所以 ≠ 0, 3 = ，
可得 = 3，
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又因为 ∈ (0, )，
可得 = 3；
(2) = 1由 2 = 3，得 = 4，
由余弦定理可得 4 = 2 + 2 ，即 4 = ( + )2 3 ，
所以 + = 4，
所以△ 的周长为 + + = 6．
17.(1) 根据2 + 2 ≤ 2 3 ≤
3 5
2 + 2 ( ∈ )，解得12 + ≤ ≤
11
12 + ( ∈ )，
( ) 5 11 所以 的单调递减区间为[ 12 + , 12 + ]( ∈ )；
(2)当 ∈ [ 12 , 3 ]时，2 3 ∈ [ 2 , 3 ]，

根据正弦函数在[ 2 , 3 ]上单调递增，可知 ( ) [
, 在 12 3 ]上为增函数，
( ) ( ) = sin( 的最小值为 12 2 ) = 1，最大值为 (

3 ) = sin
= 33 2 ，
可得 ( ) [ 3在 12 , 3 ]上的值域为[ 1, 2 ]，
因此，若方程 ( ) = 0 在区间[ 12 , 3 ]上有解，
即 ( ) = 在区间[ 312 , 3 ]上有解，可得 的取值范围为[ 1, 2 ]．
18.(1)证明：由题可得 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2) 证明：由题知： // ，∠ = 2， ， 分别是 ， 的中点，
所以 // // ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(3)取 中点 ，连接 ，
由题 = = = 2，所以△ 为等边三角形，
所以 ⊥ ，且 = 3，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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如图，过 作 // ，且 = 2，过 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
所以 // ，故四边形 为矩形，
所以 = = 1， = = 2， = 2，
又 // ，所以 // ，且 = ，
故四边形 为平行四边形，
所以 // ， = = 3，
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
故∠ 即为 与平面 所成角，
则 = 2 + 2 = 5, = 2 2
所以 cos∠ = = 10． 4
故 CD 与平面 所成角的余弦值为 10．
4
19.(1)因为△ 中，∠ = , = 2, = 1 = 1 2 ，所以 2 , = 3，
所以∠ = 3 , ∠ =

2 , ∠ =
2
3 , ∠ =

2，
在△ 中，sin( ) = sin = 1，所以 = ，2 2
在△ 4 3 4 3中，sin = 2 = 3 ，所以 = 3 ，sin 3
4 3 3
所以 3 = ，即 = 4 ．
(2)由题知 △ = △ + △ + △
1 1 1
= 2 + 2 + 2
1
因为 = 6，所以 = 4 ( + + )，
即 + + = 4 ，①
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因为 = 3，所以 + + = 4 3
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos 6，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos 6，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos 6，
三式相加得： 2 + 2 + 2
= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 6 ( + + )，
整理得： 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2
= 3( + + ) = 3 × 4 3 = 12.②
1 1 1 2+ 2 2
又 = 2 22 = 2 1 cos = 2 1 ( 2 ) ，
又由①知， 2 + 2 + 2 = 3( + + ) = 4 3 ，
所以 2 + 2 2
2
+ = 2 3 1 ( +
2 2 2
2 ) ，
所以( 2 + 2 + 2)2 = 12 2 2 3( 2 2 + 2)2，
整理得： 4 + 4 + 4 2 2 2 2 2 2 = 0，
即( 2 2)2 + ( 2 2)2 + ( 2 2)2 = 0，
所以 2 = 2 = 2，即 = = ，
所以 = 12 =
1
2 × 2 × 2 × sin 3 = 3．
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