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2024-2025 学年黑龙江省绥化市安达市三校联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 个班分别从 6 个风景点中选择一处浏览，则不同选法是( )种．
A. 36 B. 36 C. 36 D. 63
2.某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班 5 名男生 4 名女生中选 4 人，代表本班
参赛，按照学校要求女生至少参加 1 人至多参加 2 人，则选派方式共有( )
A. 80 种 B. 90 种 C. 100 种 D. 120 种
3.某旅游公司安排 6 名导游分别前往太阳岛、五大连池、镜泊湖、北极村四个景区承担讲解任务，要求每
个景区都有导游前往，且每名导游只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为( )
A. 1560 B. 300 C. 1880 D. 1280
4 .随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2) ( = 0,1,2)，其中 是常数，以下错误的是( )
A. ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1
B. = 43
C. (0 ≤ < 2) = 89
D.以上均不正确
5.随机变量 服从两点分布，若 ( = 0) = 14，则下列结论正确的是( )
A. ( = 1) = 1 14 B. ( ) = 4 C. (2 + 1) =
5 7
2 D. (2 + 1) = 4
6.设 ～ ( 21, 1)， ～ ( 22, 2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
A. ( ≥ 2) ≥ ( ≥ 1) B. ( ≤ 2) ≤ ( ≤ 1)
C.对任意正数 ， ( ≤ ) ≥ ( ≤ ) D.对任意正数 ， ( ≥ ) ≥ ( ≥ )
7.已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5 条题，乙有放回地依次从中抽取 5 条题，
甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别为 1， 2， 1， 2的期望分别为 ( 1)， ( 2)，
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方差分别为 ( 1)， ( 2)，则( )
A. ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2) B. ( 1) = ( 2)， ( 1) > ( 2)
C. ( 1) < ( 2)， ( 1) < ( 2) D. ( 1) < ( 2)， ( 1) > ( 2)
8.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九
章算法》一书中就有出现.如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”
的两个数之和，如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和.则下列命题正确的是( )
A.在“杨辉三角”第 9 行中，从左到右第 7 个数是 86
B.第 9 行所有数字之和为 256
C. 10记第 20，21 行数字的最大值分别为 ， ，则 = 21
D.在“杨辉三角”中，从第 2 行起到第 12 行，每一行的第 3 列的数字之和为 286
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2.关于( 5 ) 的展开式的说法中正确的是( )
A.各项的系数之和为 1 B.二项式系数的和为 64
C.展开式中无常数项 D.第 4 项的系数最大
10.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱
形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放
入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部
的格子中，格子从左到右分别编号为 0，1，2，3，4，5，用 表示小球落入格子的号
码，则下面计算正确的是( )
A. ( = 0) = 1 B. ( = 5) = 1 C. ( ) = 5 D. ( ) = 532 64 2 4
11.甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 3 个红球，3 个白球和 3 个黑球，先从甲箱中随机
取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以 1， 2和 3表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑
球的事件，以 表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )
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A. ( ) = 720 B. ( 1 ) =
1
5
C.事件 与事件 ( = 1,2,3)相互独立 D. ( 2| ) =
6
35
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.袋装食盐标准质量为 400 ，规定误差的绝对值不超过 4 就认为合格.假设误差服从正态分布，随机抽取
100 袋食盐，误差的样本均值为 0，样本方差为 4.由此可估计这批袋装食盐的合格率为______.【参考数据：
( ≤ ≤ + ) = 0.6827； ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = 0.9545； ( 3 ≤ ≤ + 3 ) = 0.9973】
13.在( 1)( 2)( 3)( 4)的展开式中， 的系数为______．
14.甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个
人中的任何一人．则 次传球后球在甲手中的概率 =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书.不再参加以
后的考试，否则就继续参加考试，直到用完 3 次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率
依次为 0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，求：
(1)李明在一年内参加考试次数 的分布列，期望；
(2)李明在一年内领到资格证书的概率．
16.(本小题 15 分)
为了解不同年龄的人员对“2025 年哈尔滨冬奥会”满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超
过 35 周岁和年龄不超过 35 周岁各 200 人作为样本，每位参与调查的都对“2025 年哈尔滨冬奥会”给出
满意或不满意的评价.设事件 =“对‘2025 年哈尔滨冬奥会’满意”，事件 =“人员年龄不超过 35 周岁”，
( | ) = 4 ( | ) = 8据统计， 5， 15．
(1)根据已知条件，填写下列 2 × 2 列联表并说明理由：(2 × 2 列联表见答题卡)
(2)由(1)中 2 × 2 列联表数据，依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为人员对“2025 年哈尔滨冬
奥会”的满意度与年龄有关联？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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17.(本小题 15 分)
某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分 与对
应用时 (单位：小时)如下表：
身体综合指标评分( ) 1 2 3 4 5
用时( /小时) 10 8.5 8 7 6.5
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数如以说明；
(2)建立 关于 的回归方程．

( )( )


参考数据和参考公式：相关系数 = =1 ， = ， 3 ≈ 1.73．
2 2 =1 ( ) =1 ( )
18.(本小题 17 分)
为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中
国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛.该挑战赛共分 ( ∈ , ≥ 2)关，规则如下：两
人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘
汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者 关都挑战成
功，挑战比赛结束.已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为 (0 < < 1)，乙每
一关挑战成功的概率均为 (0 < < 1)，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影
响．
(1) 1 1已知甲先上场， = 3， = 4， = 2，
①求挑战没有一关成功的概率；
②设 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求 ( )；
(2)如果 关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率内是否相同，
并说明理由．
19.(本小题 17 分)
为落实食品安全的“两个贵任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之
际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，
已知专家库中共有 6 位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀
请 2 位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1)设参加会议的专家代表共 名，求 的分布列与数学期望．
(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的 100 位热心市民中抽取
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部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀
请的名单从这 100 名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了 20 名代表，假设收到食品监督管理部门
或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代
表的人数．
(附：极大似然估计( )即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现
的概率最大化，即当 = 时，概率 ( = )取得最大值，则 的估计值为 )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.9545
13. 50
14.13 [1 + ( 1)
1
2 1 ]
15.(1)由题意知，随机变量 的所有可能取值为 1，2，3，
所以 ( = 1) = 0.6， ( = 2) = (1 0.6) × 0.7 = 0.28，
( = 3) = (1 0.6) × (1 0.7) = 0.12，
则 的分布列为：
1 2 3
0.6 0.28 0.12
( ) = 1 × 0.6 + 2 × 0.28 + 3 × 0.12 = 1.52；
(2)李明三次考试均没有通过的概率为(1 0.6) × (1 0.7) × (1 0.8) = 0.024，
故李明在一年内领到资格证书的概率为： = 1 0.024 = 0.976．
16.(1)根据题意可知，抽取的年龄不超过 35 4周岁有 200 人， ( | ) = 5，
∴ 4抽取的不超过 35 岁的人中，对“亚冬会”满意有 200 × 5 = 160 人，对“亚冬会”不满意有 200 160 =
40 人，
∵ 8又 抽取的不超过 35 岁的人中，对“亚冬会”满意有 160 人， ( | ) = 15，
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∴ 8抽取的人中，对“亚冬会”满意的人一共有 160 ÷ 15 = 300 人，
则超过 35 岁的人中，对“亚冬会”满意有 300 160 = 140 人，
又∵抽取的年龄超过 35 周岁有 200 人，
∴超过 35 岁的人中，对“亚冬会”不满意有 200 140 = 60 人，
列联表如下：
满意度 合计
年龄
满意 不满意
不超过 35 岁 160 40 200
超过 35 岁 140 60 200
合计 300 100 400
(2)零假设为 0：年龄与满意度无关，
2 = 400×(160×60 140×40)
2 16
200×200×300×100 = 3 ≈ 5.333 < 6.635，
依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，因此可以认为 0成立，
故认为年龄与满意度没有关联．
17. 解：(1)由题意得 = 1+2+3+4+55 = 3， =
10+8.5+8+7+6.5
5 = 8，

5 =1 ( )
2 = (1 3)2 + (2 3)2 + (3 3)2 + (4 3)2 + (5 3)2 = 10，
5

=1 (
2
) = (10 8)2 + (8.5 8)2 + (8 8)2 + (7 8)2 + (6.5 8)2 = 7.5，5 =1 ( )( ) =
2 × 2 + ( 1) × 0.5 + 0 + 1 × ( 1) + 2 × ( 1.5) = 8.5，
5
因此相关系数 =
=1 ( )( ) = 8.5 8.5 8.5
5 2 5 ( ) ( )2 10×7.5
= 5 3 ≈ 5×1.73 ≈ 0.98．
=1 =1
即相关系数近似为 0.98， 与 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合 与 的关系；
5
(2) (1) = =1 ( )( ) = 8.5

由 中数据，
5
2
=1 ( ) 10
= 0.85， = = 8 3 × ( 0.85) = 10.55，

所以 关于 的回归方程为 = 0.85 + 10.55．
18.解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为 ，
则 = (1 )(1 ) = 2 33 × 4 =
1
2；
②依题可知， 的可能取值为 0，1，2，
1
则由①知 ( = 0) = 2，
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( = 1) = (1 )(1 ) + (1 ) (1 ) = 1 × 2 3 2 13 3 × 4 + 3 × 4 ×
3
4 =
1 1 7
6 + 8 = 24，
( = 2) = 1 ( = 0) ( = 1) = 1 1 7 52 24 = 24，
∴ 的分布列为：
0 1 2
1 7 52 24 24
∴ ( ) = 0 × 12+ 1 ×
7
24 + 2 ×
5
24 =
17
24；
(2)设甲先出场成功概率为 1，乙先出场成功概率为 2，
则 = + 11 (1 ) + 2(1 ) 2 + + (1 ) 1 + (1 )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( 1 + 2 2 + + 1 + )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( + 1 2 + + 2 1 + )，
= + 1(1 ) + 22 (1 ) 2 + + (1 ) 1 + (1 )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( 1 + 2 2 + + 1 + )
= ( + 1 + 2 2 + + 1 + ) ( + 1 2 + + 2 1 + )，
∵ + 1 + 2 2 + + 1 + = + 1 + 2 2 + + 1 + ，
+ 1 2 + + 2 1 + = + 1 2 + + 2 1 + ，
∴ 1 = 2，
因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同．
19. (1)
2 1
解； 的可能取值为 2，3，4，则 ( = 2) = 6
2 2
= ，
6 6 15
2 1 2 8 2 2 ( = 3) = 6 2 4 = 6 4 2
26
2
6 15
， ( = 4) = 2 2 = ， 6 6 5
则 的分布列为：
2 3 4
1 8 2
15 15 5
( ) = 2 × 1 8 2 1015 + 3 × 15 + 4 × 5 = 3；
(2)设食品监督管理部门邀请的代表记为集合 ，卫生监督管理部门邀请的代表为集合 ，
则收到两个部门邀请的代表的集合为 ∪ .设参加会议的群众代表的人数为 ，
则 = ( ∪ )(元素数量)．
设 ( ∪ ) = ，则 ( ∩ ) = 40 ，设 ( ∪ ) = ，则 ( ∩ ) = 40 ，
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20 40 20 40 20 39 19 ( = ) = 100 20 80 = 20 80 ( = + 1) = 20 80 ( = +1)
20 20 20
， 20
100 100 100 100 ( = )
39 19= 20 80 (40 )(100 )
40 20
=
20 80 ( 19)( 19)
，
( = ) 40 20
同理： = 20 80 (41 )(101 ) ( = 1) 41 21 =20 80 ( 20)( 20)
，
( = 1) ≤ ( = ) ( = +1) ( = )
令 ( = + 1) ≤ ( = )，得 ( = ) ≤ 1 ≤ ( = 1)，
(40 )(100 ) (41 )(101 )
即 ( 19)( 19) ≤ 1 ≤ ( 20)( 20)，
解得 35 ≤ ≤ 36，
又 ∈ ，所以 = 36，故由极大似然估计知参加会议的群众代表的人数为 36．
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