资源简介

2024-2025 学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 = 4 3 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.下列说法正确的是( )
A.若 , 为单位向量，则 = B.若 , 为平行向量，则 =
C.若| | = | |，则 = D.若 = ，则| | = | |
3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是( )
A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.平行的线段在直观图中仍然平行
C.垂直的线段在直观图中仍然垂直 D.相等的角在直观图中仍然相等
4.小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为 0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且
这两次射击相互独立.第一次未命中得 0 分，仅第一次命中得 10 分，两次都命中可得 20 分，那么小王此次
考核得分不低于 10 分的概率是( )
A. 0.16 B. 0.64 C. 0.8 D. 0.96
5.下列命题中正确的有( )个．
①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
③如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
④垂直于同一条直线的两条直线平行
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.某班级对 60 名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表：
分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 6 12 18 15 9
则这次测试成绩的第 80 百分位数是( )
A. 84 B. 85 C. 88 D. 92
7.函数 = ( + ) + ( > 0, > 0) 的图象的一个最高点坐标为( 12 , 3)，相邻的一个最低点坐标为
( 7 12 , 1)，则 ， 的值分别为( )
A. 4, B. 2, 6 6 C. 4,

3 D. 2,

3
第 1页，共 10页
8.如图，在边长为 2 的正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点，将△ ，△ ，△ 分
别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合于点 ′.则三棱锥 ′ 的外接球表面积为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列推断正确的是( )
A. ， ， ∈ ， ， ， ∈ ，且 ， ， 不共线 ， 重合
B. ， ∈
C.已知平面 和直线 有交点，则“直线 与平面 垂直”是“平面 内存在两条夹角为 30°的直线 ， ，使得
⊥ 且 ⊥ ”的充要条件
D.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面， ⊥ ， // ， // ⊥
10 .设向量 = (cos 3 , sin 3 )，
= ( , )，下列说法正确的是( )
A. = 4 若 时，则 = 3
B. + 与 垂直
C.若 = 32 时，则<

， >= 3
D. = 0 1若 时， 在 上的投影向量为 2
11.在对某中学高三年级学生体重(单位： )的调查中，按男、女生人数 5：4 的比例用分层随机抽取 90
名学生进行测量.已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为 54，20，抽取的女生体重的平均数和方差分别
为 45，11，则( )
A.抽取的男生有 50 人 B.抽取的女生有 50 人
C.估计该校高三年级学生体重的平均数为 50 D.估计该校高三年级学生体重的方差为 36
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3 1 1 3.计算：( 2 + 2 )( 2 2 ) =______．
13.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对
称美.某广场设置了一些石凳供大家休息(如图)，这些石凳是 14 个面的半正多面体，如果石凳的棱长为 1，
第 2页，共 10页
则石凳的表面积是______，体积是______．
14 1.已知梯形 ， // ， = = = 2 = 2，点 是梯形内一点，且满足 + + + = 0，
则△ 面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
若某袋中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球、3 个黄球.从中不放回地依次随机摸出 2 个球，记
事件 =“第一次摸到红球”，事件 =“第二次摸到红球”．
(1)求 ( )和 ( )的值；
(2)求两次摸到的不都是红球的概率．
16.(本小题 15 分)
《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房一路高歌猛进，截至 2025 年 5 月，票房已突破 158 亿.根据灯塔数
据库的数据，某团队随机抽取 1000 人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方
图：
组数 分组 频数
第一组 [0,10) 100
第二组 [10,20)
第三组 [20,30) 250
第四组 [30,40) 300
第五组 [40,50)
第六组 [50,60) 50
(1)请求出各年龄段频数分布表中 ， 的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图；
(2)试估计观众年龄的众数、中位数和平均数(每组年龄用中间值代替)．
第 3页，共 10页
17.(本小题 15 分)
△ 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = 4 ， = 3．
(1)求 ；
(2)若 0 < < 4，边 上的高为 3，求△ 的周长．
18.(本小题 17 分)
如图，已知三棱柱 1 1 1的底面是正三角形，侧面 1 1 是矩形， ， 分别为 ， 1 1的中点，
为 上一点，过 1 1和 的平面交 于 ，交 于 ．
(1)求证： 1 1// ；
(2)求证： ⊥ 1 1；
(3)设 4 31与平面 1 1所成角为 30°，且 = 3 ， 1 = 2， = 3.求四棱锥 1 1 的体积．
19.(本小题 17 分)
(1)叙述正弦定理；
(2)用向量法证明正弦定理(以锐角三角形为例)；
(3)类比上述方法，解决以下问题：
第 4页，共 10页
如图，直线 与△ 的边 ， 分别相交于 ， ，设 = ， = ， = ，∠ = ，试用向量的
方法探究 与△ 的边角之间的等量关系．
第 5页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.6 + 2 3 5 23
14.3 34
15.解：(1)将两个红球编号为 1，2，三个黄球编号为 3，4，5，
第一次摸球时有 5 种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有 4 种等可能的结果，
将两次摸球的结果配对，组成 20 种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有 8 种，即 = {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}，
∴ ( ) = 8 = 220 5．
第二次摸到红球的可能结果也有 8 种，即 = {(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}，
∴ ( ) = 8 = 220 5．
(2)事件 =”两次摸到都是红球“包含 2 个可难结果，即 = {(1,2)，(2,1)}，
2 1
则两次摸到都是红球的概率为 ( ) = 20 = 10，
∴两次摸到的不都是红球的概率为：

( + ) = 1 ( ) = 1 110 =
9
10．
第 6页，共 10页
16.(1)因为第二组的频率为 0.02 × 10 = 0.2，
所以 = 0.2 × 1000 = 200，
所以 = 1000 100 200 250 300 50 = 100，
补全频率分布直方图如下：
(2) 30+40观众年龄的众数为 2 = 35，
因为 0.1 + 0.2 = 0.3 < 0.5，0.1 + 0.2 + 0.25 = 0.55 > 0.5，
所以中位数位于[20,30)，设年龄的中位数为 ，
则 0.3 + 0.025( 20) = 0.5，解得 = 28，
年龄的平均数为：

= 5 × 0.1 + 15 × 0.2 + 25 × 0.25 + 35 × 0.3 + 45 × 0.1 + 55 × 0.05 = 27.5．
17.(1) ∵ = 4 ，
∴由正弦定理可得 = 4 ，
∵ = 3，可得 4 = 3，可得 2 = 32 ，
∵ 0 < < ，
∴ = 6或 =

3；
(2) ∵ 0 < < 由 4，可得 = 6，
∵ = 3，可得 = 2，
∵ 12 3 =
1
2 ，可得 = 4 3，
又由 2 = 2 + 2 2 ，可得 2 + 2 = 16，
又 = 4 3，
∴ = 2 = 2 3 = 2 3或 ， = 2
∴△ 的周长 + + = 4 + 2 3．
第 7页，共 10页
18.解：(1)证明：因为四边形 1 1 是矩形，
所以 1 1// ，
又因为 1 1 平面 ， 平面 ，
所以 1 1//平面 ，又因为 1 1 平面 1 1 ，
平面 1 1 ∩平面 = ，
所以 1 1// ；
(2)证明：在等边 中，因为 为 的中点，
所以 ⊥ ，
因为侧面 1 1为矩形，所以 ⊥ 1．
因为 // 1 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 1，
所以 ⊥平面 1，
因为 平面 1，
所以 ⊥ ，
又因为 // 1 1，
所以 ⊥ 1 1．
(3)过 作 的垂线，垂足为 ，
由(1)(2)可知 // ， ⊥平面 1，
所以 ⊥平面 1，
又因为 平面 1，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ，且 ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又 // 1 ，
则∠ 就是 1与平面 1 1所成的角，
所以∠ = 30°，
因为 = 3, = 2，
所以在△ 中由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 30° = 3 + 4 2 × 3 × 2 × 3 = 1，2
所以 = 1，易知 = 2，即 为 的中点，
第 8页，共 10页
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ 且 ∩ = ，且 ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1 ，
因为四边形 1 1 为梯形且 = 3，
所以 1 2 3 4 3 ，1 1 = 2 × ( 3 + 3 ) × 3 = 3
因为 //平面 1 1 ，
所以 1 1 1 1 = 1 1 = 3 1 1 = 3 × 3 × 1 = 1．
19.(1) 正弦定理的内容是：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 = = ；
(2)证明：如图，在锐角△ 中，过点 作与 垂直的单位向量 ，
可得 与 的夹角为 ，2 与
的夹角为2 ，
可得 + = ，
所以| | | | cos 2 + |
| | | cos( 2 ) = | | | | cos( 2 )，

可得 = ，可得 = ，

同理，过点 作与 垂直的单位向量 ，可得 = ，

所以 = = ，得证；
(3)由题意，直线 与△ 的边 ， 分别相交于 ， ，设 = ， = ， = ，∠ = ，
如图， + + = 0，
1
设单位向量 = ，
| |
可得 + + = 0，
过点 作 的平行线，可得 = | | cos( ) = ( )，
第 9页，共 10页
又因为 = | | cos( ) = ，
= | | cos( + ) = cos( + )，
所以 cos( ) + cos( + ) = ，
当 为零角、直角、钝角时， cos( ) + cos( + ) = 仍然成立．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑