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2024-2025学年福建省泉州市安溪一中、惠安一中、养正中学、泉州实验中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若、为实数，则成立的一个充要条件是( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
4.已知直线是曲线的切线，则( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是( )
A. B.
C. D.
6.箱子中有个大小、材质都相同的小球，其中个红球，个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回设事件表示“第次摸球，摸到红球”，事件表示“第次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.有甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻则不同排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某区域的水源指标与某种植物的分布数量之间的数据如表所示，则( )
附：相关系数．
A. 与的相关系数为正数
B. 与的回归直线经过点
C. 删去数据后，与的相关系数变小
D. 增加数据后，与的相关系数不变
10.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意，恒有，则称为一数列则下列说法正确的是( )
A. 若为等差数列，则为一数列
B. 若是以为首项，为公比的等比数列，则为一数列
C. 若为一数列，则也为一数列
D. 若为一数列，则也为一数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知且，若函数为偶函数，则 ______．
13.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，设经过次移动后，该质点位于的位置，则 ______．
14.一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和不小于，则算过关游戏者可以随意挑战某一关，若直接挑战第三关，则通关的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差为的等差数列，满足．
求的通项公式；
设的前项和为，若，求的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为和的中点．
求二面角的余弦值；
设点在上，且，判断四点，，，是否共面，说明理由．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为．
Ⅰ求动点的轨迹的方程；
Ⅱ设过点的直线与曲线相交于不同的两点，若点在轴上，且，求点的纵坐标的取值范围．
18.本小题分
小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为．
经过次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；
若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件，，．
证明：；
求事件发生的概率．
19.本小题分
已知函数，其中，．
若函数在处取得极大值，求，的值；
函数．
证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合；
当时，若，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为数列是公差为的等差数列，所以，
由可得，
解得，
所以的通项公式为．
由得，
由得，
即，解得，
由于，所以的最大值为．
16.以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
又，分别为和的中点，则，，
设平面的法向量为：，
则，则，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
则，
因为二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为；
易知，，
由，
可得，则，
因为平面的一个法向量为，
而，
且点平面，
故AG平面，
即四点，，，共面．
17.解：Ⅰ设动点的坐标为，
点，，为动点，且直线与直线的斜率之积为，
，
整理，得，，
动点的轨迹的方程为，．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将代入，并整理，得
，
，
设，，
则，，
设的中点为，则，，
，
由题意知，
故直线的垂直平分线的方程为，
令，得，
当时，，；
当时，因为，所以．
综上所述，点纵坐标的取值范围是
18.的可能取值为和，且；
，
则的分布列如下：
则的期望为．
证明：，
，
得：，
又，则，即
，
得：．
由知，
又；
则有，其中；
则是以为首项，为公比的等比数列，
可得：；
所以．
19.，得，
由题设知，解得，
此时，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数：
函数在处取得极大值，满足题意，
故，．
证明：由，得，
设点和点，不妨设，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
同理曲线在点处的切线方程为；
假设与重合，则，
化简得，
两式消去，得，则，
令．，
由，在上单调递增，
，即无解，与不重合，
即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合．
当时，先解决对于，恒成立，
令，，则在上恒成立，
由，解得．
下面证明当时，在上恒成立．
则当时，，
令，则，
则当时，由，，
则，则在上单调递增，；
当时，令，
则则在上单调递增，
，在上单调递减，
成立，
对于，不等式恒成立，
实数的取值范围为．
，使得成立，
的取值范围为．
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