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2024-2025 学年广东省东莞市海德双语学校港澳台华侨联考班高二（下）
期末数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { |1 ≤ < 4}， = { | = ln( 2 2 3)}，则 ∩ 等于( )
A. (3,4] B. ( ∞, 1) ∪ [1，+∞)
C. (3,4) D. ( ∞, 1] ∪ (4，+∞)
2.已知复数 满足 = 1 + 2 ( 为虚数单位)，则| | =( )
A. 5 B. 3 C. 5 D. 3
3 ( ) = .函数 的单调递增区间是( )
A. ( ∞, ) B. (0, ) C. ( 1 , + ∞) D. ( , + ∞)
4.设 ∈ 5，则“ < 1”是“ > 5”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.若多项式 ( )满足 (2) = 2， ( 1) = 7，则 ( )被 2 2 除所得的余式为( )
A. 3 + 4 B. 3 4 C. 3 + 4 D. 3 4
6.在等差数列 中， 9 + 11 = 10，则数列 的前 19 项之和为( )
A. 98 B. 95 C. 93 D. 90
7.已知 = 1 是函数 ( ) = 3 3 + 2 的极小值点，那么函数 ( )的极大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
8.函数 ( ) = 1 4
1
2的大致图象是( )
A. B. C. D.
9.函数 = 1 ( ≤ 1)的反函数是( )
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A. = 2 1( 1 ≤ ≤ 0) B. = 2 1(0 ≤ ≤ 1)
C. = 1 2( ≤ 0) D. = 1 2(0 ≤ ≤ 1)
10 1.已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 = 3 × 2 ， ∈ ，则 4 =( )
A. 13 17 223 B. 5 C. 3 D. 3
11.函数 ( ) = 1 2 + 3 的最大值为( )
A. 23 B. 1 C.
5
3 D.
13
6
12.某公司将包括 2 名女员工在内的 5 名员工派往 3 个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至
少去一人，则 2 名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有( )
A. 24 B. 32 C. 36 D. 48
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13 = 1.曲线 过点 (1,0)的切线方程为______．
14.已知函数 ( )的定义域是[ 1,1]，则函数 (log2 )的定义域为____．
15.已知 > 1，当 = 2______时，代数式 + 1有最小值．
16.函数 ( ) = 1(2 2 3 2)的单调递增区间为______．
2
3 , ≤ 2
17.已知函数 = 2 2 + , > 2的值域是( ∞,9]，则实数 的取值范围是______．
18.已知定义域是 的函数 ( )满足： ∈ ， (4 + ) + ( ) = 0， (1 + )为偶函数， (1) = 1，则
(2023) = ______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 15 分)
1
已知(5 )6 ．
(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．
20.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 1 = 5， +1 2 = 3 ( ∈ ).记 = 3 ．
(1)求证：{ }是等比数列；
(2)设 = ，求数列{ }的前 项和．
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21.(本小题 15 分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无
论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮
的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = 1 ( = 0) = ， = 1，2， ， ，则 (

=1 ) =
=1 .记前 次(即从第 1 次到第 次投篮)中甲投篮的次数为 ，求 ( )．
22.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + ．
(1)当 = 3 时，求 ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 > 0，求 ( )在区间[0,1]的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.4 + 4 = 0
14.[ 12 , 2]
15. 2 + 1
16.( ∞, 12 )
17.(8,17]
18. 1
19. 1
3
解：(1)(5 )6展开式的通项为 = +1 6(5 )
6 ( 1 ) = 56 ( 1) 6 6 2

，
展开式一共 7 项，中间一项为第 4 项， = 3，
9 3
= 3 534 6 ( 1)3
6 2 = 2500 2．
(2)令 6 32 = 0，解得 = 4．
5 = 46 52 ( 1)4 0 = 375．
故展开式中常数项的值 375．
20.(1)证明：由已知，∵ +1 2 = 3 ，∴ +1 = 3 + 2 ，
∵ = 3 ，
∴ +1 +1 = +1 3 = 3 + 2 3 × 3 = 2 2 × 3 = 2( 3 ) = 2 ，
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又∵ 1 = 5，∴ 1 = 1 31 = 5 3 = 2，
∴易知数列{ } 中任意一项不为 0，∴ +1 = 2，
∴数列{ }是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
(2)解：由第(1)问， = 2 × 2 1 = 2 ，∴ = = 2 ，
∴设数列{ }的前 项和为 ，
则 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + 2 ①，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + 2 +1②，
① ②得， = 2 + 22 + 23 + 24 + + 2 2 +1，
∴ 2(1 2
) +1
= 1 2 2 = 2 + 2
+1 2 +1，
∴ = 2 + ( 1) 2 +1．
∴数列{ }的前 项和为 2 + ( 1) 2 +1．
21.解：(1)第二次是乙投篮的概率为 0.5 × (1 0.6) + 0.5 × 0.8 = 0.6．
(2) 1第 次是乙投篮的概率为(1 )， 1 = 2，
且 +1 = × 0.6 + (1 ) × 0.2 = 0.2 + 0．4
1 2 1 1 2 1
则 +1 3 = 5 + 5 3 = 5 ( 3 )
1 2 1 1 1故 3 = ( 5 ) ( 1 3 ) = 6 × (
2 1
5 ) ，
= 1 1则 3+ 6 × (
2
5 )
1， ∈ ．
(3)当 ≥ 1 时，
2
( ) = 1 2 1
1 ( )
6 =1 ( 5 ) +
1
3 = 6 ×
5
2 +

3 =
5
18 [1 (
2 ) 5 ] +

3， ∈
，
1 5
综上， ( ) = 518 [1 (
2
5 ) ] + 3， ∈ .
22. ( )极大值 = = ， ( )极小值 = = 1 + ；

当 > 0 时， ( )的单调增区间为( ∞,0)，( 3 , + ∞)，单调减区间(0, 3 )；
当 = 0 时，所以 ( )在 上单调递增；
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当 < 0 时， ( )的单调增区间为( ∞, 3 )，(0, + ∞)，单调减区间( 3 , 0)；
2 + , ≥ 3
( ) = 3 ． 27 + , 0 < < 3
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