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2024-2025学年辽宁省辽西重点高中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若命题：，命题：直线与抛物线无公共点，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则的最小值为( )
A. B. C. D. 无最小值
4.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，，，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知不是直角三角形，三内角，，的对边依次为，，，且满足，则( )
A. B. C. D. 不是定值
6.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.对于任意，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，设直线为抛物线在点处的切线，过点作的垂线交抛物线于另一点，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 直线的斜率为
C. D.
10.经过，两点的曲线：如图所示，关于曲线，下列说法正确的是( )
A.
B. 曲线经过的整数点个数为个
C. ，的取值范围均为
D. 若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
11.下列说法正确的是( )
A. 的展开式中的系数为
B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则
C. 将两个具有相关关系的变量，的一组数据，，，调整为，，，决定系数不变附：
D. 已知，为随机事件，且，，则若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是函数，的两个零点，则 ______．
13.甲同学有本故事书和本科普书，乙同学有本故事书和本科普书，若甲、乙两位同学各取出本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为，的均值为，则 ______．
14.如图所示，在长方体中，，，以为棱作半平面分别和棱，相交于点，，二面角的平面角为在三棱柱和四棱柱中分别放入半径为，的球，在的变化过程中，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，其中．
当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
记函数在上的最大值为．
求关于的表达式；
证明：当时，在上恒成立．
16.本小题分
已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，．
Ⅰ求，的通项公式；
Ⅱ若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点，分别在棱，上．
Ⅰ若是的中点，证明：；
Ⅱ若，平面，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：经过点．
求的离心率．
设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的倍．
当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明：．
19.本小题分
牛顿在流数法一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法如图，是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，，，，，在点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列，从图中可以看到，较接近，较接近，，当很大时，很小，我们就可以把的值作为的近似值，即把作为函数的近似零点现令．
当时，求的近似解，；
在的条件下，求数列的前项和；
当时，令，若时，有两个不同实数根，，求证：．
参考答案
1.【答案】
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10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.当时，，，
由，可得，
所以的单调递增区间为，；
令，则由可得，
所以，
令，当时，，所以，
当时，，对称轴，，；
当时，，，，
所以；
当时，，所以在上单调递减，所以；
当时，，所以在上单调递减，所以；
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
所以；
综上，；
证明：，
所以，
当时，，，
而，
所以．
16.Ⅰ设等差数列的公差为，
各项都为正数的等比数列的公比为，，
由，，，，
可得，，解得，
则，；
Ⅱ，
可得数列的前项和
．
17.Ⅰ证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，，
于是，，
即．
Ⅱ因为，而，
所以，即，
由Ⅰ知，设，则，
又因为平面，且平面的法向量为，
所以，即，解得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，
所以，
易知平面的法向量为，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
所以．
18.解：由题可得，解得：，
所以的离心率；
证明：由对称性可知直线的斜率不可能为，
设，，设的方程为，
由知的方程为，，，
联立方程组，化简得，
则，即，
所以，，
所以，
则
，
解得，则的方程为，
即直线过轴上的定点；
由可知，，又，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以
；
又，
所以；
综上，；
19.解由题意得，因为，所以，
，所以过点的切线方程为，令，
得，又因为，，
所以过点的切线方程为，令，得，
综上得，，；
因为，，
则在点处的切线方程为：，
令，得，即，
所以，由可知道，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以
；
证明：把代入得．
所以，令得：；令得：，
所以在上单调递减，在上单调递增．
先证左边：由有两个不同实数根，，，
可知：，令，则，
所以在单调递增，在上单调递减，所以，即．
所以当时，当时，
显然有两个不同的实根，记为，，且，，，又，
故，所以，因为，
所以，同理可证：，所以，
再证右边：因为，，所以在处的切线为：，
易证，所以，所以，又，所以，
综上所述，．
第1页，共1页

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