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2024-2025学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点( )
A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
4.已知是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.年月西藏定日发生级地震，已知里氏震级的计算公式为其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅，级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是级地震最大振幅的倍参考数据：
A. B. C. D.
6.、是平面外的两条直线，在的前提下，是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，，的零点依次为，，，则 ( )
A. B. C. D.
8.在中，，，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的模为
C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第三象限
10.下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知非零向量，，，若，，则
B. 若四边形中有，则与共线
C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
11.如图是棱长为的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与平行
B.
C. 直线、、中，任意两条都是异面直线
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于”的概率是______．
13.已知向量，，，若与共线，则的最小值为______．
14.底面半径为，高为的圆柱形木桶木桶的厚度忽略不计中装满水，现将一个半径为的实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球沾在铁球与手上的水忽略不计，则此时水面的高度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，，求．
16.本小题分
已知平面向量，，．
若，求实数的值；
当时，求的最大值和最小值．
17.本小题分
某果园试种了，两个品种的桃树各棵，并在桃树成熟挂果后统计了这棵桃树的产量如下表，记，两个品种各棵的产量的平均数分别为和，方差分别为和．
单位：
单位：
求品种的棵桃树产量的第百分位数；
求，，，；
果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，、分别是、的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
若，求二面角的大小．
19.本小题分
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
有两次游戏机会．
依次参加、游戏．
若一个游戏胜利，则可以参加下一个游戏；若游戏失败，则继续进行该游戏．
参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；不管参加哪一个游戏，失败均无奖金．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
在的基础上，解答下列两问：
(ⅰ)求该运动员不能参加游戏的概率；
(ⅱ)已知两次游戏结束后有三种不同的奖金额，分别为元、元、元，记为获得元奖金对应的概率定义：最终获得奖金的期望为，求以及该运动员最终获得奖金的期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，即，
由余弦定理可得，
可得，
而，
所以；
因为，所以，，，
所以，
根据正弦定理，
所以，
所以．
16.因为平面向量，，，
则，
则，
解得．
由题意可得：，
因为，
则，
故，
即的最大值为，最小值为．
17.由题意将品种的棵桃树产量从小到大排列为：，，，，，，，，，；
且，则第百分位数为第位和第位数的平均数，即为；
由题意可得品种的平均数为，
方差为；
品种的平均数为，
方差为；
种植品种，因为，但是，所以品种产量较稳定．
18.证明：如图，连接，则是的中点，
又因为是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
证明：因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
又平面，
故平面平面．
因为底面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，平面，故CD，
所以为二面角的平面角，
因为，所以，
故．
19.，
，所以甲得分的中位数位于；
由乙的频率分布直方图可得，
，所以乙得分的中位数位于，
因为甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以甲进入第二阶段．
设事件参与游戏胜利，所以其对立事件参与游戏失败
由题意可得，所以不能参加游戏的概率；
设事件参与游戏胜利，所以其对立事件参与游戏失败
，所以，
，，
所以元．
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