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2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，那么是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列命题是假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即，其中是信道容量，单位；为信道带宽，单位；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位军事战术电台采用跳频扩频技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由扩展至，为了将敌方干扰效率降低以上，需将信道容量由提高至，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的倍．
参考数据：，
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当，时，都有成立，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增
11.设函数的定义域为，满足，当时，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在上为减函数
C. 为奇函数
D. 方程有且仅有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是______．
13.已知函数，其中对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为______．
14.已知函数若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
解方程．
17.本小题分
年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
若一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
若第一次喷洒个单位的消毒剂，小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的小时中能够持续有效消毒，试求的最小值精确到，参考数据：取
18.本小题分
已知为奇函数，．
求实数的值；
求函数的值域；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初等函数，令，．
证明：；
求不等式的解集；
若恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，，
解得，
当时，则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为；
，，
若，则，
解得，
若，则，
解得，
若，不符合题意，
综上所述，的取值范围为
16.由题意知，函数的定义域为，
在等式中，
用替代，得，
所以，解得，
因为，所以，
所以方程可化为，
整理得，即或，解得或．
17.解：因为一次喷洒个单位的净化剂，
所以其浓度为，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
综上，
所以若一次喷洒个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达小时；
设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度为，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，
由，解得，
所以的最小值为．
18.根据题意，函数定义域为，
因为为奇函数，所以，即，
可得，，满足条件，
综上所述，实数的值为；
根据，可得，所以，
可得，，即函数的值域为；
根据为上的增函数，值域为，
可得为上的增函数，
令，则，由可得时，仅一根，
所以有两个零点，即在上有两个不相等的实数根，
可得，解得，所以．
19.证明：因为，，
所以，
，
，
所以；
因为，
由可知，
所以，
即，
即，
所以或，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
所以，
即，
所以，
所以或，
所以或，
所以原不等式的解集为；
因为，
所以，
即，
且恒成立，
所以，即，
又因为，
当且仅当，即时取等号．
所以，
所以满足条件的的取值范围为．
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