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2024-2025学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B. C. D.
4.某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度单位：与时间单位：的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，( )
A. B. C. D.
5.过点且与曲线相切的直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. 是方程的复数根
10.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 平面
D. 三棱锥的体积为
11.已知数列中，，，则( )
A. 是递增数列 B. ，
C. ， D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为______．
13.某农场种植了一批梨树，从中随机抽取棵，单株产量单位：千克分别为：，，，，，，，，，，，，，，若规定单株产量小于等于分位数的梨树需重点养护，则估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为______千克．
14.在数列中，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，证明：是直角三角形．
16.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在上单调递减，求的取值范围．
17.本小题分
已知曲线，直线与交于，两点．
若从，，，，，中任选一个数作为，求是椭圆的概率；
已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程．
18.本小题分
已知，，都是正项数列，且满足，，的前项和．
若是等比数列，求的公比；
若是等差数列，求的通项公式；
在的条件下，若，证明是等比数列，并求．
19.本小题分
设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”．
任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分
已知函数有两个极值点，，且．
求的取值范围；
利用“对数平均不等式”证明：．
参考答案
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14.
15.因为，
所以由正弦定理得：，
即，得，
又因为，所以，所以，解得，
又因为，所以．
证明：因为，所以由正弦定理得，
由余弦定理得：，
即，
化简得，所以，
因此，
所以是直角三角形．
16.若，则，，
所以，又，
所以所求切线方程为即．
因为在上单调递减，所以当时，，
即，亦即．
令，，则，故在上单调递增，
所以．
要使，只需，故的取值范围是．
17.当时，是是圆，当或时，是椭圆，
当时，是双曲线，
综上，从，，，，，中任选一个数作为，是椭圆的概率为；
设，那么，记为，
设，那么，记为，
得，因此，
那么，
因此，解得，那么：．
18.，，都是正项数列，且满足，，的前项和，
，
设的公比为，则上式等价于，
整理得，解得舍去．
，，
，即，，
的公差，
．
证明：由得，
，两式作差得，
整理得，
，即，，
是首项为，公比为的等比数列．
，则，
．
19.证明左边不等式：．
证明：不妨设，要证上式成立，即证成立，即证成立．
令，，即证．
设，则，所以在上单调递减，
所以当时，，即成立，故原不等式成立．
证明右边不等式：．
证明：设，要证上式成立，即证成立，即证明成立．
令，，即证．
设，则，所以在上单调递增．
所以当时，，即成立，故原不等式成立．
的定义域为，，
因为有两个极值点，所以有两个异号零点．
令，则，．
若，则在上单调递增，此时即不可能有两个零点，不符合题意．
若，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，
且当时，，当时，，
要使有两个零点，只需，得，经检验符合题意，
因此，的取值范围是．
证明：由知，是的两个根，所以，
从而．
由对数平均不等式可得，
故，且，即，
所以．
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