资源简介

2024-2025学年广西桂林中学高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { | 2 = }，则 ∩ =( )
A. { 1,2} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,0,1}
2.在等比数列{ }中， 1 + 2 = 1， 4 + 5 = 8，则公比 的值为( )
A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2
3.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，准线为 ，点 ( 9,0)与点 关于直线 对称，则 的方程为( )
A. 2 = 3 B. 2 = 6 C. 2 = 12 D. 2 = 24
4.若(2 1 2 )
1的展开式中二项式系数之和为 32，则该展开式中 的系数为( )
A. 48 B. 48 C. 80 D. 80
5.已知角 ∈ ，则“ 为第二象限角”是“ < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，
2
并由 2 = ( ) 2( + )( + )( + )( + )计算得： ≈ 7.822，参照附表，则下列结论正确的是( )
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
0.001
C.根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
7.设数列{ }的前 项和为 .若 1 = 1， +1 = 2 + 1，则 6 =( )
A. 61 B. 121 C. 125 D. 364
8 ′( )+ ( ) ( ).已知函数 ( )与其导函数 ′( )的定义域均为 ，且 > 0，则 (2 ) = ( ) 2 2 1 ，不等式 2 <
(2)
的解集是( )
第 1页，共 10页
A. (0, 2) B. (1, 2) C. ( , 2) D. ( 2, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于(1 2 )7的展开式，下列结论正确的是( )
A.第 2 项为 14 B. 2的系数为 84
C.各项系数和为 2 D.二项式系数的和为 128
10.若函数 ( ) = 1 33 9 + 2，下列说法正确的是( )
A. ( )的单调递减区间是( 3,3)
B. = 3 是 ( )的极小值点
C. ( )没有最大值也没有最小值
D.若函数 ( ) = ( ) 在区间[0,6]上有两个零点，则 的取值范围为( 16,2]
11.已知直线 ： 4 + 1 = 0，点 ， 是圆 ：( 4)2 + ( 2)2 = 4 上的动点，则下列结论成立
的是( )
A. = 3 当 时，直线 的倾斜角为3
B.直线 与圆 一定相交
C.直线 被圆 截得的弦长最大值为 4
D.若点 在直线 + 10 = 0 上，∠ 的最大值为 60°，则点 的坐标可以是(4,6)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1.已知随机变量 服从两点分布，其中 ( = 1) = 4，若 = 2 + 3，则 ( ) = ______．
13.在平面四边形 中， = 3， = 4， = 6， = 7，则 的值为______．
14.已知函数 ( ) = + ， ′( )为 ( )的导函数，给出下列三个结论：
① ( )在区间(0, + ∞)上单调递增；
② ( )在区间( , 0)上有极小值；
③ ′( )在区间( , + ∞)上有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 4 + 2 1．
(1)当 = 1 时，求 ( )在 ∈ [ 3,0]上的值域；
(2)若 ( )在[1, + ∞)上单调递增，求实数 的取值范围．
第 2页，共 10页
16.(本小题 15 分)
强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标 (考察
数学、物理等学科知识的交叉应用)和创新思维能力指标 (考察逻辑推理、问题建模等能力).随机抽取 5 名
考生的测试结果如下表：
6 8 9 12
2 3 4 5 6

(1)若学科知识整合能力指标的平均值 = 9，
(ⅰ)求 的值；



( )求 关于 的经验回归方程 = + ，并估计学科知识整合能力指标为 14 时的创新思维能力指标；
(2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
2
甲高校：每门科目通过的概率均为5，通过科目数记为随机变量 ；
1 2
乙高校：第一门科目通过概率为 (0 < < 1)，第二门科目通过概率为4，第三门科目通过概率为3，通过
科目数记为随机变量 ；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．





(附：经验回归方程 = + 中 和 ( )( 的最小二乘估计分别为： = =1 ) 2 ) =1 ( )
17.(本小题 15 分)
1
如图 1，在直角梯形 中，已知 // ， = = 2 = 2, ∠ = 90°，现将△ 沿 折起到
△ 的位置，使平面 ⊥平面 ，如图 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值；
(3)求二面角 的平面角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 = 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 22 2 + 2 1 ，数列{ }满足 = ．
第 3页，共 10页
(1)求数列{ }的前 项和 ；
(2) 3 1 2 3若 ≤ 2 ( 2 + ) + + 4对任意的 ∈
恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在直角坐标系 中，已知动圆过定点 (0,1)，且截 轴所得的弦长为 2．
(1)求动圆圆心的轨迹方程 ；
(2) ， 为曲线 上的两个动点，过 ， 中点 且与 轴平行的直线交曲线 于点 ，曲线 在点 处的切线交
轴于点 ．
(ⅰ)证明： // ；
(ⅱ)若点 在直线 = 上，求△ 面积的最大值．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.34
13.10
14.①②
15.(1)当 = 1 时， ( ) = 2 4 + 2 1 = 2(2 )2 + 2 1．
令 = 2 1， ∈ [ 3,0]， ∈ [ 8 , 1]．
则 = 2 2 + 1 = 2( 1 )24
7
8，
1 7
当 = 4时 = 8；当 = 1 时 = 2，
故函数 = 2( 1 )2 7 ∈ [ 14 8， 8 , 1]
7
的值域为[ 2, 8 ]．
所以当 = 1 时， ( )在 ∈ [ 3,0]上的值域为[ 2, 78 ]．
(2)当 = 0 时， ( ) = 2 1，满足 ( )在[1, + ∞)上单调递增，满足题意；
当 ≠ 0 时，设 = 2 ，则 = 2 2 + 1，( ≥ 2)．
因为 = 2 单调递增，
所以要使 ( )在[1, + ∞)上单调递增，
须使 = 2 2 + 1 在[2, + ∞)上单调递增，
第 5页，共 10页
> 0,
所以 14 ≤ 2,
解得 > 0．
综上可得：实数 的取值范围为 ≥ 0，即[0, + ∞)．
16. (1)( ) = 6+8+9+ +12根据题意可得 5 = 9，解得 = 10；
(ⅱ)将题干数据代入所给公式中可得：
5 =1 5 = 194 5×9×4

5 2 2 = 425 5×81 ，所以 = 0.7， = 4 9 × 0.7 = 2.3， =1 5

所以 = 0.7 2.3，

令 = 14，解得 = 0.7 × 14 2.3 = 7.5，
所以预测值为 7.5；
(2) 2由题意易知，随机变量个 满足二项分布 ～ (3, 5 )，
2 6
所以 ( ) = 3 × 5 = 5，
由题意易知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = (1 )(1 14 ) × (1
2 1
3 ) = 4 (1 )，
( = 1) = (1 14 ) × (1
2
3 ) + (1 ) ×
1
4 × (1
2
3 ) + (1 )(1
1
4 ) ×
2
3 =
7
12
1
3 ，
( = 2) = × 1 × (1 2 ) + × (1 14 3 4 ) ×
2
3 + (1 ) ×
1 × 2 = 1 54 3 6+ 12 ，
( = 3) = × 14 ×
2 1
3 = 6 ，
7 1 1 5 1 11
所以 ( ) = 12 3 + 2( 6+ 12 )+ 3 × 6 = 12 + ，
当 ( ) = ( ) 6 11时，此时5 = 12 + =
17
，得 60，
6 11 17
当 ( ) > ( )时，此时5 > 12+ ，又 0 < < 1，得 0 < < 60，
6 11 17
当 ( ) < ( )时，此时5 < 12+ ，又 0 < < 1，得60 < < 1，
17
所以，当 = 60时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；
17
当 0 < < 60时，该考生更应报考甲高校；
17
当60 < < 1 时，该考生更应报考乙高校．
第 6页，共 10页
17.(1)证明；因为 = = 12 = 2, ∠ = 90°，
则 = = 2 2，
可得 2 + 2 = 2，则 ⊥ ．
又因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
可得 ⊥平面 ，
且 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)过点 作 ⊥ ，交 于点 ．
因为 = ，则 为 的中点，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
连接 ，则∠ 为 与平面 所成的角．
由(1)知 = = 2 2，
因为 = 2, = 2 + 2 = 10，
则 = 2 + 2 = 2 3，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值 sin∠ = 6． = 6
(3)由(2)知 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
过 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
且 平面 ，所以 ⊥ ，
可知∠ 为二面角 的平面角．
第 7页，共 10页
在△ 中， = 1 2 24 = 1，则 = + = 3，
cos∠ = = 1 = 3可得 ， 3 3
所以二面角 的平面角的余弦值为 3．
3
18.解：(1)数列{ }满足 = 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 22 2 + 2 1 ，数列{ }满足 = ．
由二项式定理可得 = (1 + 2) 1 = 3 1，
则 = = 3 ，
设 = 1 × 31 + 2 × 32 + 3 × 33 + + × 3 ，
则 3 = 1 × 32 + 2 × 33 + 3 × 34 + + ( 1) × 3 + × 3 +1，

两式相减得： 2 = 31 + 32 + 33 + + 3 × 3 +1 = 3(1 3 ) × 3 +1 = 1 2 3 +1 3 1 3 2 2，
= 2 1则 3 +1 4 +
3
4，
(2 1) 3 +1+3 1
所以 = 4 2 ( + 1)．
(2) ≤ 3若 2
1 2 3
( 2 + ) + + 4对任意的 ∈
恒成立，
2 1
即有 3 +1 + 3 ( +1) ≤ 3 ( 3 ) 1 2 + 24 4 2 2 2 +
3
4，
3 +1
整理得 ≤ 4 2 ，
3 +1
令 = ，显然 > 0， +1 3
+2 4 2 3 2 2+ + 2
4 2 = 4( +1)2 3 +1 = ( +1)2 = 2+2 +1 ，
当 = 1 时， 2 < 1

，当 ≥ 2 时， +1 > 1，于是 1 > 2 < 3 < 4 < 5 < ，1
∈ ≥ = 27 ≤ 27因此 ， 2 16，则 16，
所以 27的取值范围是( ∞, 16 ]．
19.解：(1)设动圆圆心坐标为( , )，
因为动圆过定点 (0,1)，截 轴所得弦长为 2，
所以 2 + ( 1)2 = | |2 + 1，
整理得 2 = 2 ，所以动圆圆心的轨迹方程 ： 2 = 2 ．
(2)( )如图：
第 8页，共 10页
设 ( , 0)， ( 2, 2)， ( 1, 1)，
21 = 2 根据题满足 12 ，作差得( 1 + 2)( 1 2) = 2( 1 )， = 2 22 2
1+ 2
所以 2 =
1 2
，所以 = ，1 2
2
因为过点 与 轴平行的直线交曲线 于点 ，所以 ( , 2 )，
2 2因为曲线 ： = 2 ，所以 = ，所以导函数2 ′ = ，
所以 = = ，即 // ．
( )因为点 在直线 = 上，所以 ( , )，
又因为 为 ， 中点，所以点 在曲线 内部，
所以 2 < 2 ，解得 ∈ (0,2)，
由( ) // ，所以点 到直线 的距离即为平行线 和 间距离，
因为 ： = ( )，所以 2 + = 0，
2 2 ： 2 = ( )，所以 2 = 0，
2 2
| + + | 2所以 和 间距离为 = 2 = |2 |，
1+ 2 2 1+ 2
因为| | = 1 + 2| | = 1 + 2| |，
1 1 |2 2 = | | = | 1 + 2| | = 1所以 △ 2 2 4 |2
2| | |，
2 1+ 2
因为 ∈ (0,2)，所以 = 1 (2 2 3△ 4 )，
令函数 ( ) = 2 2 3，导函数 ′( ) = 4 3 2，
令导函数 ′( ) = 0，解得 = 0 4或 = 3，
∈ (0, 4所以 3 )，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
∈ ( 43 , 2)，导函数 ′( ) < 0， ( )单调递减，
第 9页，共 10页
4 32
所以 ( )最大值为 ( 3 ) = 27，
所以三角形 1 32 8面积的最大值为4 × 27 = 27．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑