2024-2025学年广东省揭阳市高一(下)期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年广东省揭阳市高一(下)期末数学试卷(含答案)

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2024-2025学年广东省揭阳市高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,,,则( )
A. B. C. D.
2.若,,则“”的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
3.有下列一组数据:,,,,,,,,,则这组数据的上四分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知偶函数在区间上单调递增,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱柱的棱长均为为的中点,则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的零点分别为,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知命题:,为真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
8.在揭阳马拉松比赛活动中,四位志愿者,,,被随机分配到四个物资发放点站点,每人原属站点分别为,,,规定每人不能分配到原属站点,则志愿者被分配到站点的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.如图,在平行四边形中,,分别是边上的两个三等分点,则下列选项正确的有( )
A.
B.
C.
D.
10.设函数,则下列结论正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在区间上单调递减
11.已知函数是定义在上的奇函数,是偶函数,当时,,则下列说法中正确的有( )
A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称
C. D. 方程恰有不同的实数根
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知随机事件,,,和互斥,和对立,且,,则______.
13.已知函数若只有一个零点,则的取值范围是______.
14.已知,,,四点都在体积为的球的表面上,若是球的直径,且,,则三棱锥体积的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、,有余弦定理:



在上面三个等式中,任选一个等式进行证明;
若,,,求的面积.
16.本小题分
潮汕英歌舞以其动作刚劲有力,节奏感强的特色,备受人们喜爱某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演,为了解训练成果,做了一次问卷调查,问卷所涉及的问题均量化成对应的分数满分分,从所有答卷中随机抽取份的分数作为样本,将样本的分数成绩均为不低于分的整数且在组内均匀分布分成五段:,,,,得到如下所示的频数分布表.
样本分数段
频数
频率
求频数分布表中和的值,并估计样本成绩的平均数;
经计算,样本中分数在区间内的平均数为,方差为;在区间内的平均数为,方差为,求两组成绩的总平均数和总方差.
17.本小题分
如图,已知是圆柱下底面圆的直径,点是下底面圆周上异于,的动点,,是圆柱的两条母线.
求证:平面平面;
若,,圆柱的母线长为,求平面与平面夹角的余弦值.
18.本小题分
已知函数的最大值为.
求常数的值;
求函数的单调递减区间;
设,为函数的两个相异零点,求的最小值.
19.本小题分
通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,称为复向量类比平面向量的相关运算法则,对于,,我们有如下运算法则:,;;;.
设,求和;
类比平面向量数量积满足的运算律,得出复向量的一个相关结论:,判断上述结论是否正确,并说明理由;
设,集合,求的最小值,并证明当取最小值时,对于任意的.
参考答案
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14.
15.证明:设,,,
所以,

即.
同理可得,.
由,
由正弦定理得,
因为,,
所以,
由余弦定理得,
所以,
所以.
16.由,
解得,则,

综上所述平均数的估计值为;
由表可知,内的频数为,内的频数为,
故两组成绩的总平均数,
两组成绩的总方差.
所以两组成绩的总平均数是,总方差是.
17.证明:因为是底面圆的一条直径,是下底面圆周上异于,的动点,
所以,
又因为是圆柱的一条母线,所以底面,
因为底面,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面.
如图所示,过点作圆柱的母线,连接,.
因为底面底面,所以即求平面与平面的夹角.
因为,在底面的射影为,,且为下底面圆的直径,
所以为上底面圆的直径,
因为是圆柱的母线,所以平面,
因为平面,所以.
又因为为上底面圆的直径,所以,
因为,平面,,
所以平面,
因为平面,所以,又因为平面平面,
所以为平面与平面的夹角,
又因为在底面的射影为,所以,,
所以,又因为母线长为,所以,
又因为平面,平面,
所以,
所以,
所以,
即平面与平面夹角的余弦值为.
18.由题意得.
根据的最大值为,解得.
由知,令,
解得,可知的单调递减区间为.
令,得,
因为,为的两个相异零点,所以,
可能有如下两种情况:

,解得;
,且,
或,且,此时.
综上所述,,即的最小值为.
19.由,
得,


设,


因为,
所以,因此正确.
证明:不妨令,则,


当时,取得最小值,
此时,
设满足条件的,
则,

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