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第十六章　整式的乘法
16.2　整式的乘法
第1课时　单项式与单项式相乘
【r·数学八年级上册】
导入新课
1．计算：
(1)(2a－3b)·(－3a)＝　　　　　　　；
(2)(－3x2)(－x2＋2x－1)＝　 　　　　　.
2．化简：x3·(－2x)2－2x(3x－2x4)＝　　　　　　　.
－6a2＋9ab
3x4－6x3＋3x2
－6x2＋6x5
探究新知
1．教材P106　问题2.
提出问题：
(1)怎样求扩大后绿地的面积？你能用多少种方法求解？
(2)如果将扩大后的绿地看作一个大长方形，从图中你能找出它的长和宽吗？
(3)知道长和宽，能否根据公式直
接求出面积？列出的式子是什么？
根据所学知识能否算出结果？
(4)除此之外，还有其他方法求扩大后绿地的面积吗？能否将大长方形分成多个小长方形来求解？
(5)用两种方法求出的式子可以直接划等号吗？根据划等号的两个式子能得出什么结论？
a
p
b
q
　 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为 p m. 则它的面积是多少？
为了扩大街心花园的绿地面积，将这块长方形绿地加长了 b m，加宽了 q m.
a
p
ap
b
q
你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
方法一：看作一个长方形，计算它的面积.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
(a+b)(p+q)
方法二：看作两个长方形，计算它们的面积和.
a
p
ap
b
q
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
扩大后的绿地面积为：
a(p+q)+b(p+q)
扩大后的绿地面积为：
p(a+b)+q(a+b)
方法三：看作四个长方形，计算它们的面积和.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
ap+bp+aq+bq
bp
bq
aq
不同的表示方法：
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
p(a+b)+q(a+b)
ap+bp+aq+bq
a
p
ap
b
q
它们都表示这块绿地扩大后的面积，因此有：
(a+b)(p+q)
= a(p+q)+b(p+q)
= p(a+b)+q(a+b)
= ap+bp+aq+bq
你能通过怎样的推理得到这个等式？
(a+b)(p+q)
+
+
=
=
将多项式(p+q)看成一个整体
a(p+q)
b(p+q)
再利用单项式乘多项式的法则
ap
bp
aq
bq
+
+
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
(a + b)(p + q) 的结果可以看作由 a + b 的每一项乘 p + q 的每一项，再把所得的积相加而得到的.
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
①注意符号：“每一项”包括其前面的符号；
②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
2．计算：(a＋b)(p＋q).
能否将p＋q看作一个整体，运用单项式乘多项式的法则进行求解．
归 纳
1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a＋b)(p＋q)＝_______________.
2．多项式与多项式相乘，所得结果仍然为________.在合并同类项之前，积的项数应该________两个多项式项数之积．
ap＋aq＋bp＋bq
多项式
等于
例题与练习
例1 计算：　
(1) (a + 3)(a – 2)；
解：(1) (a + 3)(a – 2)
= a·a + a·(–2) + 3·a + 3×(–2)
= a2 – 2a + 3a – 6
= a2 + a – 6
(2) (3x + 1)(x + 2)；
(2) (3x + 1)(x + 2)
= (3x)·x + (3x)·2 + 1·x + 1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
= 3x2 + 7x + 2
(3) (x – 8y)(x – y)；
(3) (x – 8y)(x – y)
= x2 – xy – 8xy + 8y2
= x2 – 9xy + 8y2
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)；
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)
= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
= a3 + b3
例2　计算：
(1)(3x＋7)(3x－7)＋2x(x - 1)；
(2)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)；
解：(1)原式＝12x2－2x－49；
(2)原式＝－15x2＋10xy－y2；
(3)5y2－(y－2)(3y＋1)－2(y＋1)(y－5)；
(4)(2x－x2－3)(x3－x2－2).
(3)原式＝13y＋12；
(4)原式＝－x5＋3x4－5x3＋5x2－4x＋6.
例3　(1)先化简，再求值：3x(2x＋1)－(2x＋3)(x－5)，其中x＝－2；
解：原式＝4x2＋10x＋15.
(2)先化简，再求值：y(x＋y)＋(x＋y)(x－y)－x2，其中x＝－2，y＝.
解：原式＝xy. 当x＝－2，y＝时，原式＝－1.
当x＝－2时，原式＝11；
随堂检测
1. 计算：
（1）(2x + 1)(x + 3)；
解： (2x + 1)(x + 3)
= 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1×3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x2 + 7x + 3
（2）(m + 2n)(3n – m)；
解： (m + 2n)(3n – m)
= m·3n + m·(–m) +2n·3n + 2n·(–m)
= 3mn – m2 + 6n2 – 2mn
= – m2 + mn + 6n2
解： (a – 1)2
（3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)；
= (a – 1)(a – 1)
= a·a + a·(–1) + (–1)·a
+ (–1)×(–1)
= a2 – a – a + 1
= a2 – 2a + 1
解： (a + 3b)(a – 3b)
= a·a + a·(–3b) + 3b·a
+ 3b·(–3b)
= a2 –3ab + 3ab – 9b2
= a2 – 9b2
解： (2x2 – 1)(x – 4)
（5）(2x2 – 1)(x – 4)；
= 2x2·x + 2x2·(–4) + (–1)·x + (–1)×(–4)
= 2x3 – 8x2 – x + 4
解： (x2 + 2x + 3)(2x – 5)
= x2·2x + x2·(–5) + 2x·2x +2x·(–5) + 3·2x + 3×(–5)
= 2x3 – 5x2 + 4x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 – x2 – 4x – 15
（6）(x2 + 2x + 3)(2x – 5).
2. 计算：
（1）(x + 2)(x + 3)；
解： (x + 2)(x + 3)
= x·x + x·3 + 2·x + 2×3
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
解： (x – 4)(x + 1)
= x·x + x·1+ (–4)·x + (–4)×1
= x2 + x – 4x – 4
= x2 – 3x – 4
（2）(x – 4)(x + 1)；
（3）(x + 4)(x – 2)；
解： (x + 4)(x – 2)
= x·x + x·(–2) + 4·x + 4×(–2)
= x2 + –2x + 4x – 8
= x2 + 2x – 8
解： (x – 5)(x – 3)
= x·x + x·(–3) + (–5)·x + (–5)×(–3)
= x2 – 3x – 5x + 15
= x2 – 8x + 15
（4）(x – 5)(x – 3).
（1）(x + 2)(x + 3)；
= x2 + 5x + 6
= x2 – 3x – 4
（2）(x – 4)(x + 1)；
（3）(x + 4)(x – 2)；
= x2 + 2x – 8
= x2 – 8x + 15
（4）(x – 5)(x – 3)；
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ).
x2
x
x
p
q
qx
px
pq
x
p+q
pq
3. 求值： (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – y2) ，其中 x = ，y = 5.
解： 原式 = x·x2 + x·xy + x·y2 + (–y)·x2 + (–y)·xy + (–y)·y2 – [x·x2 + x·(–y2) + y·x2 + y·(–y2)]
= x3 + x2y + xy2 –x2y – xy2 – y3 –x3 + xy2 –x2y + y3
= xy2 –x2y
当 x = ，y = 5 时，原式 =
4．要使(4x－a)(x＋1)的积中不含有x的一次项，则a等于( )
A．－4 B．2 C．3 D．4
5．若a＋b＝3，ab＝2，则代数式(a－2)(b－2)的值是　 　.
6．某校操场原来的长是2x m，宽比长少10 m，现在把操场的长与宽都增加了5 m，则整个操场的面积增了　 　m2.
D
0
(20x－25)
7．求出使(3x＋2)(3x－4)＞9(x－2)(x＋3)成立的非负整数解．
解：原不等式可化为9x2－12x＋6x－8＞9x2＋27x－18x－54，
即15x＜46，解得x＜.
∵x为非负整数，∴x可取0，1，2，3.
课堂小结
多项式与多项式的乘法法则：
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
(1)教材P110　习题16.2第1题；
作业布置

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