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2024-2025 学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 25. 6 是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知角 的终边经过点 ( 3,2)，则 =( )
A. 2 13 B. 2 13 C. 3 13 3 1313 13 13 D. 13
3 3 10.已知 = 10 ，且 ∈ ( ,
3
2 )，则 tan( +

4 ) =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 12 2
4 1 5.已知 cos( ) = 2， = 12，则 cos( + ) =( )
A. 1 13 B. 3 C.
1
4 D.
1
4
5.已知曲线 1： = ， 2： = cos(2

6 )，则( )
A. 1 把 1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移6个单位长
度，得到曲线 2
B. 1 把 1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移3个单位长
度，得到曲线 2
C.把 1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移6个单位长
度，得到曲线 2
D. 把 1上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移12个单位
长度，得到曲线 2
6.一个圆台上、下底面的半径分别为 1，2，母线所在直线与轴的夹角为 45°，则该圆台的侧面积为( )
A. 3 B. 6 C. 3 2 D. 6 2
7.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若2 = = 3 ，则角 =( )
A. B. 6 3 C.
2 5
3 D. 6
8.已知 是△ 所在平面内一点，满足 + + = 0，若 ⊥ ， = 6，则 =( )
A. 12 B. 12 C. 18 D. 18
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 为非零向量，则( )
A.若|2 + | = | 2 |，则 ⊥
B.若 + = ( )，则 //
C.若 > 0，则< ， >为锐角
D.若| | = | || |，则 //
10.已知函数 ( ) = 2 ( + 6 )，则( )
A. = ( ) 的图象关于直线 = 3对称
B. ( )在( 3 ,

3 )上单调递增
C. = ( ) 2 的图象关于点( 3 , 0)对称
D.当 ∈ [0,4 ] = sin 时，曲线 2与 = ( )的交点个数为 4
11.在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 2， ， 分别为棱 1， 1 1上的动点，则( )
A. △ 1 的周长为定值 B.三棱锥 的体积为定值
C.若 1 = 2 ，则 ⊥ 1 D.若 1 / /平面 1 ，则 1 = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,1)， = (2, )，若 //( 4 )，则 = ______．
13.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则
( 73 ) = ______．
14.已知三棱锥 的各顶点都在表面积为 12 的球面上， ⊥平面 ，
= ， = 5，∠ = 45°，则该三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = 4 ( + 3 ) ．
(1)求 ( )的单调递减区间；
(2)当 ∈ [0, 3 4 ]时，求 ( )的最值．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为 2 的等边三角形， ⊥ ， ， 分别为 ， 的中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)证明：平面 ⊥平面 ；
(3)若 = 3，二面角 的大小为 30°，求 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在五面体 中，平面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， ⊥ ， = = 2， = 1．
(1)证明： // ；
(2) 1若直线 与平面 所成角的正切值为3，求直线 与 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在平行四边形 中， 为 的中点，点 ， 满足 = 2 ， = 2 ．
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 ⊥ ，求 ；
(3)若 = = 1，求 3( + ) + | |的取值范围．
19.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是△ 内一点，且 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ，
， 为垂足，记 = ， = ， = ．
(1)若∠ = 60°， = 2， = 3， = ， 的延长线交 于点 ，求 ；
(2) 若 = 2， + = 2 ， = 2 = 2，求 及 ；
(3)证明： + + ≥ 2( + + )，当且仅当 = = 且 = = 时，等号成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13. 3 32
14. 22
15.(1) ( ) = 4( 1 32 + 2 ) = 2
2 + 2 3
1 2
= 2 × 2 + 3 2
= 2( 32 2
1
2 2 ) + 1 = 2 (2

6 ) + 1，
3 5
由题意知，2 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2，解得 + 3 ≤ ≤ + 6 ( ∈ )，

所以 ( )的单调递减区间为[ + 3 , +
5
6 ]， ∈ ；
(2)设 = 2 6，则 = 2 + 1
3
，因为 ∈ [0, 4 ]，
∈ [ , 4 所以 6 3 ]，
所以 ∈ [ 32 , 1]，所以 ( )的最小值为 1 3，最大值为 3．
16.(1)证明：因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ；
(2)证明：因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， // ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(3)因为 ⊥ ， ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
则∠ = 30°，
由题意知， = 3， = 32，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
所以 2 = 3 + 94 2 ×
3
2 × 3 ×
3
2 =
3
4，
可得 = 32 ，
在直角△ 中， = 9+ 4 = 13，
13
又因为 = 2， = 2 ， =
3
2 ，
所以 2 = 2 + 2，所以∠ = 90°，
即 ⊥ ，
因为 为 的中点，
所以 = = 2．
17.(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // ；
(2)因为 // ，所以∠ 为直线 与 所成的角，
因为 = = 2， // ，所以 为平行四边形，所以 // ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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连接 ，则 为直线 在平面 内的射影，所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
则 tan∠ = 13，可得 sin∠ =
10，
10
因为 = = 1，所以 = 10，
因为 ⊥ ，所以 = 14，
可得 cos∠ = 214 =
14
，
7
所以直线 与 所成角的余弦值为 14．
7
18.(1)已知在平行四边形 中， 为 的中点，点 ， 满足 = 2 ， = 2 ．
则 = = 1 1 ， = 3 2 +
= 1 2
+ 1 3 ；
(2)若 ⊥ ，
则 = 0，
所以( 1 1 ) ( 1 + 1 3 2 3 2 ) = 0，
1
可得 | |2 1 | |29 4 = 0，
| |2 4
即 = ，
| |2 9

所以 =
2
3；
(3)设∠ = ， ∈ (0, )，
因为 + = 1 1 + 1 + 1 = 2 3 2 2 3 3 ，
所以 3( + ) + | | = 2 ( ) + ( + )2
= 2(1 ) + 2 + 2
= 2 × 2 2 2 2 2 2 + 2 × 2 2 = 4(1 cos 2 ) + 2 2 = 4 2 + 2 2+ 4，
令 cos 2 = ，
则 3( + ) + | | = 4 2 + 2 + 4， ∈ (0,1)，
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因为 4 2 + 2 + 4 = 4( 1 )24 +
17
4， ∈ (0,1)，
17
可得 4 2 + 2 + 4 ∈ (2, 4 ],
所以 3( + ) + | |的取值范围是(2, 174 ]．
19.(1)因为 ⊥ ， ⊥ ， ， 为垂足，记 = ， = ，
又因为 = ，可得 为角 的角平分线，
因为∠ = 60°，所以∠ = ∠ = 30°，
因为 = + ，
1
所以2 × 2 × 3 ×
3 1 1 1
2 = 2 × 3 × × 2 + 2 × 2 × ×
1
2，
6
解得 = 5 3；
(2) + = = 因为 ， 2，
所以 = 3 4 2， = 4 2，
因为 + = 2 ，由正弦定理可得： + = 2 ，
即 sin( 3 4 2 ) + sin(
4 2 ) = 2 ，
2 cos + 2 sin + 2 cos 2即 2 2 2 2 2 2 2 sin

2 = 2 ，
2cos = 4 cos 即 2 2 2，
cos ≠ 0 sin 2因为 2 ，所以 2 = 4 ，
2 3
可得 = 1 2 2 22 = 1 2 × ( 4 ) = 4，
= 1 cos2 = 1 916 =
7
4 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 × cos( ) = 1 + 4 2 × 2 × 1 × ( 34 ) = 2 2，
= 2 2 8 14所以 sin( ) = 7 = 7 ；
4
(3)证明：因为 = 2 + 2 2 ( ) = 2 + 2 2 ( + ) =
2 + 2 2 ( )
= 2 + 2 2 + 2
= 2(sin2 + cos2 ) + 2(sin2 + cos2 ) 2 + 2
= ( + )2 + ( )2 ≥ + ，
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所以 = + sin( ) ≥ ，当且仅当 = 时等号成立，
≥ + 同理 ，当且仅当 = 时等号成立，
≥ + ，当且仅当 = 时等号成立，
+ + ≥ + + + + + 所以 ，
+ + + + + 因为
= ( + ) + ( + ) + (

+

) ≥ 2 + 2 + 2 ，
当且仅当 = = 时等号成立，
所以 + + ≥ 2( + + )，当且仅当 = = 且 = = 时，等号成立．
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