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2024-2025 学年黑龙江省大庆市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 ( ) = (2 + 3) 4 + 3, ≥ 1 ( ) ( ).已知函数 , < 1 ，对任意的 1， 2 ∈ ，且 1 ≠ 2，都有
1 2
> 0，则 1 2
的取值范围是( )
A. > 1 B. < 2 C. 1 < < 2 D. 1 < ≤ 2
2.长方体 1 1 1 1中， = = 2， 1与平面 1 1 所成角为 30°，则四棱锥 1 的体
积为( )
A. 8 2
B. 8 23
C. 8 33
D. 8 3
3.6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为( )
A. 35 B. 50 C. 70 D. 100
1, > 0 (1 )+1 ( 1)+1
4.定义符号函数 = 0, = 0 ，设 ( ) = 22 1( ) +
2
2 2( )， ∈ [0,1]，若 1( ) = 1, < 0
2(1 )， 2( ) = +
1
2，若 ( ) = 有两个解，则 的取值范围是( )．
A. ( 32 , 2] B. [1,2] C. {1} ∪ (
3 3
2 , 2] D. (1, 2 ]
5.函数 ( )的定义域为 ， (2) = 3，若 ∈ ， ′( ) > 1，则 ( ) > + 1 的解集为( )
A. ( 2,2) B. (2, + ∞) C. ( ∞,2) D. ( ∞, + ∞)
6.若函数 = ( )( ∈ )满足 ( + 2) = ( )，且 ∈ ( 1,1]时 ( ) = | |，则函数 ( )的图象与函数 =
log2| |的图象的交点的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.多于 4
27 4 + 6, ≥ 0.设函数 ( ) = + 6, < 0 ，则不等式 ( ) > 3 的解集是( )
A. ( 3,1) ∪ (3, + ∞) B. ( 3,1) ∪ (2, + ∞)
C. ( 1,1) ∪ (3, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ (1,3)
8.已知二次函数 = 2 2 1 在区间[ , ]上有最小值 1，则下面关系一定成立的是( )
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A. ≤ 0 < 或 < 0 ≤ B. < 0 <
C. < < 0 或 < 0 < D. 0 < < 或 < < 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = 2 + + 5，则( )
A. (0) = 0 B. ( ) = ( )是奇函数
C. ( 1) = 7 D.当 < 0 时， ( ) = 2 + 5
10 .函数 ( ) = 3 ( ∈ )的图象可能是( )
A. B. C. D.
11.已知 ， ∈ ，且 ≠ 0，则在以下各命题中，正确的是( )
A.当 < 0 时， 的方向与 的方向一定相反
B.当 = 0 时， 的方向具有任意性
C. | | = | |
D.当 > 0 时， 的方向与 的方向一定相同
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.全期望公式 ( ) = ( | = ) ( = )是条件数学期望的一个非常重要的性质.全期望公式具有广
泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到 1 点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点
1 5
数则停止.设 为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得 ( ) = 6 (1 + ( )) + 6 × 1，解
得 ( ) = 65，其中 1 + ( )表示小明投一次 1 点后，再投骰子停止后次数期望仍为 ( )，加上之前投的一
次总次数为 1 + ( ).参考以上方法完成下列问题：
一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠 2
分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠 3 分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠 5 分钟后
回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为 ，则 ( ) = ______分钟．
13.设{ }是等比数列，且 1 + 2 + 3 = 3， 2 + 3 + 4 = 6，则 6 = ______．
14.已知偶函数 ( )满足 ( + 1) = ( 1)，当 ∈ [ 1,0]时， ( ) = 2，方程 ( ) log | | = 0 有 10
个根，则实数 的取值范围是______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有
和 两类试题，每类试题各 10 题，其中每答对 1 道 类试题得 10 分；每答对 1 道 类试题得 20 分，答错
都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出 3 道题回答(每道题抽后不放回).已知某同学 类试题
中有 7 2道题能答对，而他答对各道 类试题的概率均为3．
(1)若该同学只抽取 3 道 类试题作答，设 表示该同学答这 3 道试题的总得分，求 的分布和期望；
(2)若该同学在 类试题中只抽 1 道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1 道题的概率．
16.(本小题 15 分)
记数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 1 且 2 = ( + 1) ．
(1)求{ }的通项公式；
2 , 为奇数
(2)记 = ，求数列{ }的前 2 项和 2 ．
, 为偶数
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 ) ， ∈ ．
(1)若函数 ( )在区间(1,2)上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 ( )有两个不同的极值点 1， 2，求证： ( 1) ( 2) < 4 2．
18.(本小题 17 分)
短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度.为调查某天南北方游客
来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的 500 名游客调查得知，南方游客有 300 人，
因收看短视频而来的 280 名游客中南方游客有 200 人．
(Ⅰ)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是
否与收看短视频有关联；
单位：人
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客
北方游客
合计
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(Ⅱ)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款 5 人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余 4 人之
一.现有甲、乙等 5 人参加此游戏，球首先由甲传出．
( )求经过 次传递后球回到甲的概率；
( )记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望．
2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ；
( =1 ) =

=1 ( )．
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ( ∈ )在 = 0 处的切线斜率为 2．
(1)求 的值；
(2)求证： ≥ + ；
2(3)是否存在实数 ，使得 ( ) ≥ 3 + 2 + 2 + 3 恒成立？若存在，求 的取值集合，若不存在说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13.32
14.(5,7)
15.解：(1)易知 的所有可能取值为 0，10，20，30，
3 1 2
此时 ( = 0) = 3 13 = 120， ( = 10) =
7 3 = 21 = 7，
310 10 120 40
2 1 3
( = 20) = 7 3 = 63 = 213 120 40， ( = 30) =
7
3 =
35 = 7，
10 10 120 24
则 的分布为：
0 10 20 30
1 7 21 7
120 40 40 24
1 7 21
故 ( ) = 0 × 120 + 10 × 40 + 20 × 40 + 30 ×
7
24 = 21；
(2)记“该同学仅答对 1 道题”为事件 ，
( ) = 7 × ( 1 2 3 1 1 2 19此时 10 3 ) + 10 × 2 3 3 = 90，
19
所以这次竞赛中该同学仅答对 1 道题得概率为90．
16.解：(1)根据题意， 1 = 1，2 = ( + 1) ，则 2 1 = 1，
两式相减可得 2 = ( + 1)

1，即 = ( ≥ 2)， 1 1
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= 2 . . . 1 = 1 × 2 × . . . × 1 则 1 2 1 = ，对 = 1 也成立，1 2 1
则 = ， ∈ ；
2 , 为奇数
(2)由(1)可得 = ，则 = ，
, 为偶数
2 = ( 1 + 3 + . . . + 32 1) + ( 2 + 4 + . . . + 2 ) = (2 + 2 + . . . + 22 1) + (2 + 4 + . . . + 2 )
= 2(1 4
) 1 22 +1 2 2
1 4 + 2 (2 + 2 ) = 3 + + ．
17.(1)解： ( ) = ( 2 ) 在 上连续不断，且 ′( ) = ( 2 + 2 )，
由 ( )在(1,2)上单调递增，因 > 0，则 2 + 2 ≥ 0 在 ∈ (1,2)上恒成立，
即 ≤ 2 + 2 在 ∈ (1,2)恒成立，
因 ( ) = 2 + 2 = ( + 1)2 1 在(1,2)上单调递增，则 ( ) > (1) = 3，
故 ≤ 3，即 ∈ ( ∞,3]；
(2)证明：由(1)可知： ′( ) = ( 2 + 2 )，且 > 0，令 ′( ) = 0，可得 2 + 2 = 0，
由函数 ( )有两个不同的极值点 1， 2，等价于 2 + 2 = 0 有 2 个实根 1， 2，
则 = 4 + 4 > 0，解得 > 1，由韦达定理可得 1 + 2 = 2 1 2 = ，
则 21 + 2 = ( + )22 1 2 2 1 2 = 4 + 2 ，
由 ( ) ( ) = 1( 2 ) 2( 2 ) = 1+ 2[ 2 2 ( 2 + 2) + 2] = 4 21 2 1 2 1 2 1 2 ，
因为 > 1，则 4 < 4， 2 > 0，故 ( ) ( ) < 4 21 2 ．
18.解：(Ⅰ)将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客 200 100 300
北方游客 80 120 200
合计 280 220 500
假设 0：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联，
2 = 500×(200×120 80×100)
2 8000
300×200×280×220 = 231 ≈ 34.632 > 10.828 = 0.001，
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001．
(Ⅱ)( )设经过 次传递后回到甲的概率为 ，
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则 = (1
1 1 1
1) × 4 = 4 1 + 4 ( ≥ 2)，
即
1 1 1
5 = 4 1 5 ，
又 1 = 0
1
， 1 5 =
1
5，
1 1 1
所以 { 5 }是首项为 5，公比为 4的等比数列，
所以 1 1 1 1 = 5 5 × ( 4 ) ．
(ⅱ)设第 次传递时甲接到球的次数为 ，
则 服从两点分布， ( ) = ，
设前 次传递中球传到甲的次数为 ，

( ) = ( ) = ( ) = 1 + 2 + . . . +
=1 =1
1 1 (
1
= × 4
)
= 4 × ( 1 5 5 1 25 4 ) + 5
4
1+ 25
，
4
所以 ( ) = ( )4 ，
1 1 1
所以 ( ) = 5 +

25 25 × ( 4 ) ．
19.解：(1)根据题意， ′( ) = + ( ∈ )，
′(0) = = 2；
(2)证明：设 ( ) = 1( ∈ )， ′( ) = 1，
当 ∈ ( ∞,0)时， ′( ) < 0，函数在( ∞,0)上单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，函数在(0, + ∞)上单调递增，
则 ( )在 上的最小值为 (0) = 0，所以 ≥ + 1 ≥ + ；
2 2
(3)设 ( ) = ( ) 3 2 2 3 = 2
+ 3 2 2 3( ∈ )，
则 ′( ) = 2 3 2 2( ∈ )，
设 ( ) = ′( ) = 2 3 2 2，
则 ′( ) = 2 6 1，设 ( ) = ′( ) = 2 6 1，
则 ′( ) = 2 + 6 ，设 ( ) = ′( ) = 2 + 6 ，
(0) = 2 6 ， ′( ) = 2 + ，① (0) = 2 6 = 0 1时， = 3， ′( ) = 2
2 1，
由(2)可知， ′( ) = 2 2 1 ≥ 1 ≥ 0，
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所以 ( )在 上递增，又 (0) = 0，
所以当 ∈ ( ∞,0)时， ( ) = ′( ) < 0，函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，
当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
2
所以 ( )在 上的最小值为 (0) = 0，即 ( ) ≥ 3 + 2 + 2 + 3 成立；
1
② (0) = 2 6 > 0 时， < 3，
当 ∈ [ 2 ,

2 ]时， ′( ) = 2
+ > 0， ( ) 在[ 2 , 2 ]上单调递增，
若 ( ) = 2 22 + 1 6 ≥ 0

，则当 ∈ [ 2 , 0]时， ( ) = ′( ) ≥ 0，
( ) = ′( )在[ 2 , 0]单调递增，
当 ∈ [ 2 , 0]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( ) = ′( )

在[ 2 , 0]单调递减，
当 ∈ [ 2 , 0]时， ( ) = ′( ) ≥ (0) = 0， ( )在[

2 , 0]单调递增，

所以 ( 2 ) < (0) = 0 不成立；

若 ( 2 ) = 2
2 + 1 6 < 0 ，因为 ( )在[ 2 , 2 ]上单调递增且 (0) = 2 6 > 0，
则存在 0 ∈ (

2 , 0)，使得 ( 0) = 0，
所以当 ∈ [ 0, 0]时， ( ) = ′( ) ≥ 0， ( ) = ( )在[ 0, 0]单调递增，
当 ∈ [ 0, 0]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( ) = ′( )在[ 0, 0]单调递减，
当 ∈ [ 0, 0]时， ( ) = ′( ) ≥ (0) = 0， ( )在[ 0, 0]单调递增，
所以 ( 0) < (0) = 0 不成立；
③ (0) = 2 6 < 0 时， > 13，
∈ [ 2 , 2 ]时， ′( ) = 2
+ > 0， ( )在[ 2 ,

2 ]上单调递增，

若 ( ) = 2 + 1 6 ≤ 0 ∈ [0, 22 ，则当 2 ]时， ( ) = ′( ) ≤ 0，
( ) = ′( )在[0, 2 ]单调递减，
当 ∈ [0, 2 ]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( ) = ′( )

在(0, 2 ]单调递减，
当 ∈ [0, 2 ]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( ) [0,

在 2 ]单调递减，
所以 ( 2 ) < (0) = 0，不成立；
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(

若 22 ) = 2 + 1 6 > 0，因为 ( )在[ 2 , 2 ]上单调递增且 (0) = 2 6 < 0，
则存在 0 ∈ (0,

2 )，使得 ( 0) = 0，
所以当 ∈ [0, 0]时， ( ) = ′( ) ≤ 0， ( ) = ′( )在[0, 0]单调递减，
当 ∈ [0, 0]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( ) = ′( )在[0, 0]单调递减，
当 ∈ [0, 0]时， ( ) = ′( ) ≤ (0) = 0， ( )在[0, 0]单调递减，
所以 ( 0) < (0) = 0，不成立，
1
综上所述， 的取值集合为{ 3 }．
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