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第十七章 因式分解
第1课时 用提公因式法分解简单的因式
17.1 用提公因式法分解因式
情境导入
某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
=
一个多项式
两个整式的乘积
视频：跳水比赛打分
探究新知
在小学，我们学过整数的素因数分解.
12 =___________.
6 =___________.
8 =___________.
30 =___________.
2×3
2×2×2
2×2×3
2×3×5
类似地，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式.
知识点1 因式分解
（1）x2 + x = __________；
（2）x2 – 1 = _____________；
（3）x2 + 2x + 1 = __________.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
探 究
想：整式的乘法
x(x + 1)
(x + 1)(x – 1)
(x + 1)2
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（1）m(a + b + c) = ma + mb + mc，
ma + mb + mc = m(a + b + c)；
（2）(a－7)2 = a2 －14a + 49，
a2－14a + 49 = (a－7)2；
（3）(x + 3)(x－3) = x2 －9，
x2－9 = (x + 3)(x－3).
整式乘法
因数分解
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(a－7)2 = a2 －14a + 49
(x + 3)(x－3) = x2 －9
ma + mb + mc = m(a + b + c)
a2－14a + 49 = (a－7)2
x2－9 = (x + 3)(x－3)
互为
逆变形
观 察
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .
① am + bm + c = m(a + b) + c
② 12x2y2 = 3x ·4xy2
③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1
×
√
×
×
×
√
③⑥
练习
下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
知识点2 公因式
观 察
找出下列多项式的公因式.
① 3x + 6y
② ab – 2ac
③ a2 – a3
④ ma2 – 6mb
⑤ 3xy2 – 4y2
3
a
a2
m
y2
练习
试一试，将它们写成几个因式的乘积.
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
知识点3 提公因式法
例1　分解因式：　
(1) mx2 + my2；
(2) 3x2 – 4xy2 + x .
解：(1) mx2 + my2
= m(x2 + y2)
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
m
x
将 x 提出后，括号内的第三项为 1
(2) 3x2 – 4xy2 + x
= x·3x – x·4y2 + x·1
= x(3x – 4y2 + 1)
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
= 2x2 ·1 + 2x2 ·3x
= 2x2 (1 + 3x)
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
思 考
2
x
2
2x2 + 6x3
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
把下列各式分解因式：
（1）4m2 – 2mn；
（2）3ax2 – 6axy + 3a.
解：4m2 – 2mn
= 2m·2m – 2m·n
= 2m(2m – n)
3ax2 – 6axy + 3a
= 3a·x2 – 3a·2xy + 3a·1
= 3a(x2 – 2xy + 1)
练习
随堂练习
1. 下列整式中，没有公因式的是（ ）
A. ab 与 b
B. a + b 与 a2 + b2
C. a – b 与 (b – a)2
D. x 与 6x2
B
b
×
a – b
x
2.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab；
（2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)；
（3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 .
是整式的乘法
仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积
3. 分解因式：
（1）ax – ay； （2）a2 – 2a；
解：(1) ax – ay
= a(x – y)
(2) a2 – 2a
= a·a – a·2
= a(a – 2)
（3）a2 + ab； （4）xy – y2 + yz.
(3) a2 + ab
= a·a + a·b
= a(a + b)
(4) xy – y2 + yz
= y·x – y·y + y·z
= y(x – y + z)
4. 利用分解因式计算：
（1）1.992 + 1.99×0.01；
解：(1) 1.992 + 1.99×0.01
= 1.99×1.99 + 1.99×0.01
= 1.99×(1.99 + 0.01)
= 1.99×2
= 3.98
（2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22；
（3）5×34 + 4×34 + 9×32.
(2) 49×20.22 + 52×20.22 – 20.22
= 20.22×(49 + 52 – 1)
= 20.22×100
= 2022
(3) 5×34 + 4×34 + 9×32
= 5×34 + 4×34 + 32×32
= 5×34 + 4×34 + 34
= 34×(5 + 4 + 1)
= 81×10
= 810
课堂小结
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，确定公因式；
第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1）；
第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）.
谢谢

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