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2024-2025 学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos 19 6 =( )
A. 3 B. 1 C. 32 2 2 D.
1
2
2.在△ 中，设 = ， = ，若点 满足 = 3 ，则 =( )
A. 5 1 B. 3 1 C. 14 4 4 4 4 +
3
4
D. 3 1 4 + 4
3.将函数 = 1 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的3 (纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移12个
单位，得到的图象对应的函数解析式为( )
A. = (3 4 ) B. = (3

12 ) C. = (

3 4 ) D. =
( 3 12 )
4.已知向量 = (1,3)， = ( 1,2)，则 在 上的投影向量为( )
A. B. 1 2 C.
1 1
2 D. 2
5.若直线 的一个方向向量为 = (0,1, 3)，平面 的一个法向量为 = ( 2, 0,1)，则 与 所成的角为( )
A. 6 B.

4 C.

3 D.

2
6 3.用斜二测画法画出的四边形 的直观图如图中的四边形 ′ ′ ′ ′，其中 ′ ′ = 3， ′ ′ = 2，
′ ′ = 2，则原四边形 以 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为( )
A. 28 3 B.
19
2
C. 38 3 D. 19
7.在△ 中，已知 2 ( 1) + sin2 = 0，则△ 一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形
8.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 1 1 1 1，其中底面 是正方形， 1 = = 4，
∠ 1 = ∠ 1 = 60°，则直线 1 与 1所成角的余弦值为( )
A. 510 B.
10
10
C. 55 D.
2
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )，则( )
A. ( ) 的最小正周期为 B. ( + 3 )是奇函数
C. ( ) 5 的图象关于直线 = 12对称 D. ( )在区间[0, 3 ]上单调递减
10.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是△ 所在平面内一点，则下列结论正确的是( )
A. = +
B. 为△ 的外心 | | = | | = | | = 2
C. 2 1 1若 = 3
+ 3 ，则△ 的面积是△ 面积的3
D.若( + ) = 0
1
，且
| | | | |
= ，则△ 为等边三角形 | | | 2
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 是棱 1上的动点，
是棱 上的动点，过点 1， ， 作正方体的截面 ，则( )
A.存在点 ，使得 1 ⊥平面 1
B.三棱锥 1 1的体积是定值
C.截面 的形状为梯形
D.当截面 的面积取得最小值时， 为 的中点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2,2)， = (1, 2)， = ( , 1)，若(2 + )// ，则 =______．
13.已知 ∈ (0, 2 )，2 (2 ) = cos(2 ) + 1

，则 tan( + 4 ) =______．
14.如图，在平面四边形 中， = = = = 2， ⊥ ，将△ 沿直线 翻折至△ ，
使得 = ，则三棱锥 外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = sin2 + sin2 sin2A.
(1)求 ；
(2)若 = 2 3，△ 的面积为 3，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 = 2 1 1 = 4．
(1)求证： 1//平面 1；
(2)求点 1到平面 1的距离．
17.(本小题 15 分)
如图，在长方形 中， = 2， = 4， 是边 的中点，将△ 沿直线 翻折至△ ，使得
∠ = 120°，连接 ， ，得到四棱锥 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = ( , )， = ( 3 , )，且 ( ) = + 12．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)若 ( ) = 45，且 ∈ (

6 , 3 )，求 2 的值；
(3)若函数 = [ ( )]2 ( + 1) ( ) + 在区间[ 2 , 3 ]上有三个不同的零点，从小到大依次记为 1， 2， 3，
求 tan( 31 + 2 + 2 )的值．
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19.(本小题 17 分)
如图，设 ， 是平面内相交成 (0 < < )角的两条射线， 1， 2分别为与 ， 同向的单位向量，定
义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 = 1 + 2，则记 = ( , )．
(1)若 = 13，在 仿射坐标系中， = (2, 1)，
= ( 1,1)，求| |；
(2)在 仿射坐标系中，若 = ( 1, 3)，且 与 1的夹角为3，求 ；
(3) 7如图，在3 仿射坐标系中，点 ， 分别在射线 、射线 上(均与点 不重合)，|
| = 1， = 19 ，
， 分别为 ， 的中点，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.52
13.3
14.28 3
15.(1)因为 + = sin2 + sin2 sin2 ，
所以sin2 + sin2 sin2 = cos( + ) = ，
由正弦定理得 2 + 2 2 = ，
2 2 2
所以 = + 12 = 2，
所以 = 3；
(2)因为 = 2 3，△ 的面积为 3，
1
则 2 + 2 12 = ，2

3 = 3，解得 + = 2 6，
所以△ 的周长为 + + = 2 6 + 2 3．
16.(1)证明：连接 交 于点 ，连接 1， 1，
由正四棱台的性质，可得 // 1 1，
又 = 2 1 1，所以 = 2 1 1 = 2 ，即 = 1 1，
所以 1 1是平行四边形，
所以 1// 1， 1 = 1，
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又 1 平面 1， 1 平面 1，所以 1//平面 1；
(2)由(1) 1//平面 1，
可得三棱锥 1 1的体积等于三棱锥 1的体积，
即为三棱锥 1 的体积，
正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 = 2 1 1 = 4，
作 1 ⊥ 于 ，则 1 是正四棱台的高，
正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 = 2 1 1 = 4，
= 4 2, 1 1 = 2 2，则 1 = 2 2 = 22 (
4 2 2 2 2
1 ，2 ) = 2
所以 1 1 =
1
1 = 3 △ 1 =
1 × 8 × 2 = 8 2，3 3
又 1 = 1 ， 是 中点，所以 1 ⊥ ，
由(1)知 1 = 1 = 2，而 = 4 2，
1
所以 △ 1 = 2 =
1
1 2 × 4 2 × 2 = 4，
设点 1到平面 1的距离为 ，则
1
3 × 4 =
8 2，
3 = 2 2，
所以点 1到平面 1的距离为 2 2．
17.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，如图，
由已知 = ， ⊥ ，因此 ⊥ ，且 = = = 2，
△ 中， 2 = 2 + 2 2 135° = 2 + 4 2 × 2 × 2 × ( 2 ，2 ) = 10
又∠ = 120°，因此 2 = 2 + 2 2 120° = 12，
因此 2 + 2 = 2，因此 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
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因此 ⊥平面 ，而 平面 ，
因此平面 ⊥平面 ；
(2)取 中点 ，作 // ，且 = ，连接 ，
则 是平行四边形，因此 // ， 是 中点，则 // ，因此 // ，
因为 ∈平面 ， 平面 ，因此 平面 ，即 ∈平面 ，
因此 平面 ，
由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，因此 ⊥ ，同理 ⊥ ，
因此 = = 2 + 2 = 12 + ( 2)2 = 3，
作 ⊥ 于点 ，连接 ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，因此 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
平面 ，则 ⊥ ，
因此∠ 是直线 与平面 所成角，
△ = 2×2 2 6在 中， 3 = ，3
sin∠ = 2． = 3
因此直线 与平面 所成角的正弦值为 2．
3
18.(1)因为 = ( , )， = ( 3 , )，
所以 ( ) = + 1 = 3 cos2 + 1 = 32 2 2 2
1
2 2 = sin(2
，
6 )
由 2 + 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )得 6 + ≤ ≤ 3 + ( ∈ )，
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所以 ( ) [ 的单调递增区间是 6 + ,

3 + ]( ∈ )．
(2)若 ( ) = 4 = sin(2 5 6 )，

因为 ∈ ( 6 , 3 )，

所以6 < 2

6 <

2，
所以 cos(2 6 ) =
3
5，
所以 2 = cos(2 3 1 3 3 1 4 3 3 4；6 + 6 ) = 2 cos(2 6 ) 2 sin(2 6 ) = 2 × 5 2 × 5 = 10
(3)由[ ( )]2 ( + 1) ( ) + = 0 得 ( ) = 1 或 ( ) = ，
即 sin(2 6 ) = 1 或 sin(2

6 ) = ，
∈ [ , ] = 2 ∈ [ 7 , 由 2 3 ，可得 6 6 2 ]，
由 = 1 得 = 2 = = 6 2，解得 3 3；
7 1
所以 = 在 ∈ [ 6 , 2 ]上有两个不同的解，由图知， ∈ ( 1, 2 ],
+ = 2 × ( 且 1 2 2 ) = ，即(2 1 6 ) + (2 2 6 ) = ，

所以 1 + 32 = 3， 1 + 2 + 2 = 3 + 6 = 6，
所以 tan( 1 + +
3
2 2 ) = tan(

6 ) =
3．
3
19.(1)在 仿射坐标系中，若 = 1 + 2，则记 = ( , )
1
，由 = 3，则 =
2 2
3 ，
如图，以 为原点构造直角坐标系 ′，
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在直角坐标系 ′中，当 = 13时，记 1 = (1,0)，则 2 = (
1 2 2
3 , 3 )，
在 仿射坐标系中， = (2, 1)， = ( 1,1)，
= 2 = ( 7 2 2 4 2 2则 1 2 3 , 2 )， = 1 + 2 = ( 3 , 3 )；
| | = |( 11 , 4 2 11 2 4 2所以 23 3 )| = ( 3 ) + ( 3 ) = 17；
(2)在直角坐标系 ′中，记 1 = (1,0)，则 2 = ( , )，
在 仿射坐标系中， = ( 1, 3) = 1 + 3 2 = ( 1 + 3 , 3 )，
cos < , 1 >=
1 = cos = 1，
| || 1| 3 2
解得 = 0( ) = 3 = 舍去 或 2 ，所以 6；
(3)在直角坐标系 ′中， 1 = (1,0), 2 = (cos
1 3
3 , sin 3 ) = ( 2 , 2 )，
设 = 1 = ( ,0)， =
1 3
2 = ( 2 , 2 )， > 0， > 0，即| | = ，| | = ，
则| | = 2 + 2 2 3 = 1，所以
2 + 2 = 1，
， 分别为 ， 的中点，
则 = 1 12 ( + ) = 2 ( +
7 , 7 3 )， 1 38 38 = 2 (
+ ) = 12 ( +
1
2 ,
3
2 )
= 14 [( +
7
38 )( +
1
2 ) +
7 3
38
3 ] = 1 2 13 7 2 12 4 ( + 19 + 19 ) = 19 (8
2 + 5 2) 1376，
△ 中，由正弦定理sin =3 sin∠
= sin∠ ，
设∠ = ，则 sin∠ = sin( + 2 3 ), ∈ (0, 3 )，
所以 = 2 2 3 ， = 3 sin( + 3 )，
2
32 20 32 1 2 20 1 cos(2 + )
8 2 + 5 2 = sin23 + 3 sin
2( + 3 ) = 3 ×
3
2 + 3 × 2
= 23 (13 +
5 3
2 2
11
2 2 ) =
2
3 (13 + 7 (2 )]
11
，其中 为锐角，且 = 5 3，
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2
因为 ∈ (0, 3 )，则 < 2 <
4
3 ，
2
故当 2 = 2时，8
2 + 5 2取得最大值3 (13 + 7) =
40
3，
则 = 1 2 2 13 1 40 13 12119 (8 + 5 ) 76 ≤ 19 × 3 76 = 228．
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