资源简介

2024-2025学年山西省长治一中高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | < 4}， = { |0 < ≤ 1}，则 ∩ ( ) =( )
A. ( ∞,1] B. (0,1]
C. ( ∞,0) ∪ (0,1] D. ( ∞,0] ∪ (1，4)
2.曲线 ( ) = 在点(0, (0))处的切线方程为( )
A. = B. = 2 C. = 12 D. =
1
3
3.已知 、 ∈ ，则“ > 2”是“ > > 0”的( )条件．
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要
4.已知圆锥的底面半径为 3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为( )
A. 9 3 B. 10 3 C. 15 D. 18
5.投掷均匀的骰子，每次投得的点数为 1 或 2 时得 1 分，投得的点数为 3，4，5，6 时得 2 分，独立重复
投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是( )
A. 2 1 1 1 2 2投掷 次骰子，最终得分的期望为 2 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3+ 4 × 3 ×
2
3 =
8
3
B.设投掷 次骰子合计得分恰为 + 1 分的概率为 ，则 =1 = 1
C.设投掷 次骰子合计得分恰为 + 1 分的概率为 ，则 =
1 23 1 + 3 2( ≥ 3)
D.设最终得分为 分的概率为 ，则 =
1 2
3 1 + 3 2( ≥ 3)
6.某厂 1995 年的产值为 万元，预计产值每年以 5%递增，则该厂到 2007 年的产值(万元)是( )
A. (1 + 5%)13 B. (1 5%)13 C. (1 + 5%)12 D. (1 5%)12
7.已知过抛物线 2 = 2 ( > 0)焦点 的直线与该抛物线交于 ， 两点，若| | + 4| | = 9，则 的最大
值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8.过点 ( 1,0)向曲线 ： 2 2 + 2 2 = 0( 为正整数)引斜率为 ( > 0)的切线 ，切点为 ( , )，
则下列结论不正确的是( )
A. = 4 +2 B. = +1
2
C. 2025 =1 = 2026 D.

数列{ 2 2 }的前 项和为 = +
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 10页
9.下列说法正确的是( )

A.若随机变量 ， 满足： ( ) > 0, ( | ) + ( ) = 1，则 ， 相互独立
B.已知随机变量 ～ ( , 2)，若 ( ≥ 2) + ( ≥ 6) = 1，则 = 4
C.在线性回归分析中，样本相关系数 的值越大，变量间的线性相关性越强

D.一组数据(1,3)，(2,8)，(3,10)，(4,14)，(5,15)的经验回归方程为 = 3 + ，则当 = 2 时，残差为 1
10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则( )
A.若 > ，则 <
B.若 为钝角，则 >
C.当 > 1 时，若 ： ： = ：( + 1)：( + 2)，且△ 是钝角三角形，则 1 < < 2
D.若 = 6 , = 2, =
15
2 ，则满足条件的三角形有两个
11.若函数 ( ) = (1 +1) + + ，则下列结论正确的是( )
A. = 1 是 ( )的极大值点
B.当 > 2 时， ( )有两个零点
C.若 ( 1) = ( 2)且 1 ≠ 2，则 1 1 + 2 >
2
2
D. 1若 ( 1) = ( + +22)且 1 ≠ 2，则 1 2 < 1 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.袋中有 4 个红球， 个黄球， 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红
1 1
球的概率为6，一红一黄的概率为3，则 = ______．
13.设向量 = (1, 2)， = ( , 1)， = ( , 0)，其中 为坐标原点， > 0， > 0，若 、 、
1 2
三点共线，则 + 的最小值为______．
2 214 .已知 为坐标原点，双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，左顶点为 ，过 作 的一条渐近
线的垂线，垂足为 .若| | = 3| |，则 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ = 已知在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边，且 ．
(1)求角 的值；
(2)若 = 3，设角 = ，△ 周长为 ，求 = ( )的最大值．
第 2页，共 10页
16.(本小题 15 分)
某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出 32 名学生的数学成绩( )和物理成绩

( )，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：32 32 =1 = 3584， =1 = 2368，36
32
=1 ( )
2 =

16932 2 =1 ( ) ，其中 、 分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中 = 1，2， ，32.通过计算得到
与 的相关系数 = 0.91．
(1)求 与 的线性回归方程；
(2)已知同学甲的此次数学成绩为 125 分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过 80 分？


= =1
( )( )
( )( )
参考公式： 2 ， = ；相关系数 =
=1

．
=1 ( ) =1 ( )2

=1 ( )2
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 12
2 ( + 1) + , > 0．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)求函数 = ( )的单调增区间；
(3)若 ( )存在极大值点 0，求证： ( 0) < 0．
18.(本小题 17 分)
如图，在正方体 ′ ′ ′ ′中， = 2，点 为棱 上的动点(不含端点)，点 为 ′ 上一点，
直线 交平面 ′ ′ ′ ′于点 ．
(1)求证 ′ //平面 ′ ．
(2)若 ′ ⊥ ，
(ⅰ)求证 ′ ⊥平面 ′ ；
(ⅱ)当 3为何值时，直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值为5．
第 3页，共 10页
19.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点为
5
，离心率为 2 ，过点( 2, 2)作直线 与 交于 ，
两点，当直线 的斜率为 0 时，△ 的面积为 4 5．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ⊥ ，求直线 的方程；
(3) | |若直线 ， 分别与直线 = 2 交于 ， 两点，试探究在直线 = 2 上是否存在定点 ，使得| |为定值？
若存在，求出定点 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.8
14.2
15.解：(1) = 由已知 可得 = ，
结合正弦定理可得 2 + 2 2 = ，
2
∴ = +
2 2 1
2 = 2，
1
又 ∈ (0, )，∴ = 3 ．
(2)由 = 3， = 13 ．
3
及正弦定理得 = = 3 = 2，
2
∴ = 2 ， = 2 = 2 ( 2 3 )，
故 = + + = 3 + 2 + 2 ( 2 3 )，
= 3 + 3 + 3

= 2 3sin( + 6 ) + 3
第 5页，共 10页
0 < < 2 5 由 3，得6 < 6 + < 6，
∴ + = 当 6 2，即 =
1
3 时， = 3 3．
16. 由题中数据可得 ， ，
由 ，可得：
，
所以 ，
所以 与 的线性回归方程为 ；
由 可知 ，
所以当 时， ，
所以同学甲物理成绩不会超过 分．
17. 若 ，则 ，
故 ， ，
所以曲线在 处切线的斜率 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ；
定义域为 ，因为 ，
所以 ，
当 时，令 ，得 或 ，
所以函数 的单调增区间为 和 ；
当 时， ，当且仅当 取“ ”，
所以函数 的单调增区间为 ；
第 6页，共 10页
当 时，令 ，得 或 ，所以函数 的单调增区间为 和 ．
综上，当 时，增区间为 和 ，
当 时，增区间为 ，
当 时，增区间为 和 ；
证明：由 可知，当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，
由于 ，所以 ，从而 ，故 ，
当 时， 在 单调递增，此时 无极值，不合题意，
综上，若 存在极大值点 ，则 ．
18. 证明： ， ， ， ， 四点共面，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
证明：连接 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， ，
平面 ，
平面 ，
，
又 ， ， 平面 ， ，
平面 ；
(ⅱ)解：设 ，作 交 于点 ，
第 7页，共 10页
， ， ， ， 平面 ，
平面 ，
即为所求，
平面 ，
，
平面 ， 平面 ，
， ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
整理可得 ，解得 ，
当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
19. 因为当直线 的斜率为 时， 的面积为 ．
所以 的面积为 ，
由对称性得 ， 点坐标为 ，
则 ，
结合 ，
得 ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ．
第 8页，共 10页
因为双曲线 的左顶点为 ，则 ，
因为直线 斜率不存在时不满足题意，
所以设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，
直线 的方程为 ，则 ，
双曲线 ，即 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
设 ， ，
则 ．
若 ，则 ，
所以 ，
则直线 的方程为 ，
即 ．
直线 ： ，
令 ，得 ，则 ，同理可得 ，
假设存在点 满足题设，
则 为定值，
所以 ，所以 ，且 ，
第 9页，共 10页
即存在定点 ，使得 为定值 ．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑