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2024-2025学年广西桂林中学高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，，则公比的值为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中二项式系数之和为，则该展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知角，则“为第二象限角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.通过随机询问某中学名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，
并由计算得：，参照附表，则下列结论正确的是( )
附：
A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
7.设数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于的展开式，下列结论正确的是( )
A. 第项为 B. 的系数为
C. 各项系数和为 D. 二项式系数的和为
10.若函数，下列说法正确的是( )
A. 的单调递减区间是
B. 是的极小值点
C. 没有最大值也没有最小值
D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
11.已知直线：，点，是圆：上的动点，则下列结论成立的是( )
A. 当时，直线的倾斜角为
B. 直线与圆一定相交
C. 直线被圆截得的弦长最大值为
D. 若点在直线上，的最大值为，则点的坐标可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 ______．
13.在平面四边形中，，，，，则的值为______．
14.已知函数，为的导函数，给出下列三个结论：
在区间上单调递增；
在区间上有极小值；
在区间上有两个零点．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在上的值域；
若在上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标考察数学、物理等学科知识的交叉应用和创新思维能力指标考察逻辑推理、问题建模等能力随机抽取名考生的测试结果如下表：
若学科知识整合能力指标的平均值，
(ⅰ)求的值；
求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为时的创新思维能力指标；
现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：
17.本小题分
如图，在直角梯形中，已知，，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图．
求证：；
求与平面所成的角的正弦值；
求二面角的平面角的余弦值．
18.本小题分
已知数列满足，数列满足．
求数列的前项和；
若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为．
求动圆圆心的轨迹方程；
，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)若点在直线上，求面积的最大值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.当时，．
令，，．
则，
当时；当时，
故函数，的值域为．
所以当时，在上的值域为．
当时，，满足在上单调递增，满足题意；
当时，设，则，．
因为单调递增，
所以要使在上单调递增，
须使在上单调递增，
所以解得．
综上可得：实数的取值范围为，即．
16.根据题意可得，解得；
(ⅱ)将题干数据代入所给公式中可得：
，所以，，
所以，
令，解得，
所以预测值为；
由题意易知，随机变量个满足二项分布，
所以，
由题意易知，随机变量的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以，
当时，此时，得，
当时，此时，又，得，
当时，此时，又，得，
所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；
当时，该考生更应报考甲高校；
当时，该考生更应报考乙高校．
17.证明；因为，
则，
可得，则．
又因为平面平面，且平面平面，平面，
可得平面，
且平面，
所以．
过点作，交于点．
因为，则为的中点，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
连接，则为与平面所成的角．
由知，
因为，
则，
所以直线与平面所成的角的正弦值．
由知平面，平面，所以．
过作交于点，连接，
因为，，平面，所以平面，
且平面，所以，
可知为二面角的平面角．
在中，，则，
可得，
所以二面角的平面角的余弦值为．
18.解：数列满足，数列满足．
由二项式定理可得，
则，
设，
则，
两式相减得：，
则，
所以．
若对任意的恒成立，
即有，
整理得，
令，显然，，
当时，，当时，，于是，
因此，，则，
所以的取值范围是．
19.解：设动圆圆心坐标为，
因为动圆过定点，截轴所得弦长为，
所以，
整理得，所以动圆圆心的轨迹方程：．
如图：
设，，，
根据题满足，作差得，
所以，所以，
因为过点与轴平行的直线交曲线于点，所以，
因为曲线：，所以，所以导函数，
所以，即．
因为点在直线上，所以，
又因为为，中点，所以点在曲线内部，
所以，解得，
由，所以点到直线的距离即为平行线和间距离，
因为：，所以，
，所以，
所以和间距离为，
因为，
所以，
因为，所以，
令函数，导函数，
令导函数，解得或，
所以，导函数，函数单调递增；
，导函数，单调递减，
所以最大值为，
所以三角形面积的最大值为．
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