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2024-2025学年四川省乐山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法正确的是( )
A. 若为单位向量，则 B. 若为平行向量，则
C. 若，则 D. 若，则
3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是( )
A. 相等的线段在直观图中仍然相等 B. 平行的线段在直观图中仍然平行
C. 垂直的线段在直观图中仍然垂直 D. 相等的角在直观图中仍然相等
4.小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立第一次未命中得分，仅第一次命中得分，两次都命中可得分，那么小王此次考核得分不低于分的概率是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的有个．
过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
垂直于同一条直线的两条直线平行
A. B. C. D.
6.某班级对名学生的一次数学测验成绩进行统计，成绩分布如下表：
分数段
人数
则这次测试成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则，的值分别为( )
A. B. C. D.
8.如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点则三棱锥的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列推断正确的是( )
A. ，，，，，，且，，不共线，重合
B. ，
C. 已知平面和直线有交点，则“直线与平面垂直”是“平面内存在两条夹角为的直线，，使得且”的充要条件
D. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，
10.设向量，，下列说法正确的是( )
A. 若时，则
B. 与垂直
C. 若时，则，
D. 若时，在上的投影向量为
11.在对某中学高三年级学生体重单位：的调查中，按男、女生人数：的比例用分层随机抽取名学生进行测量已知抽取的男生体重的平均数和方差分别为，，抽取的女生体重的平均数和方差分别为，，则( )
A. 抽取的男生有人 B. 抽取的女生有人
C. 估计该校高三年级学生体重的平均数为 D. 估计该校高三年级学生体重的方差为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：______．
13.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美某广场设置了一些石凳供大家休息如图，这些石凳是个面的半正多面体，如果石凳的棱长为，
则石凳的表面积是______，体积是______．
14.已知梯形，，，点是梯形内一点，且满足，则面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若某袋中有个大小质地完全相同的球，其中个红球、个黄球从中不放回地依次随机摸出个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
求和的值；
求两次摸到的不都是红球的概率．
16.本小题分
哪吒之魔童闹海自上映以来，票房一路高歌猛进，截至年月，票房已突破亿根据灯塔数据库的数据，某团队随机抽取人为样本，统计他们的年龄，并绘制如下的频数分布表和频率分布直方图：
组数 分组 频数
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
请求出各年龄段频数分布表中，的值，并补全各年龄段人数频率分布直方图；
试估计观众年龄的众数、中位数和平均数每组年龄用中间值代替．
17.本小题分
的三个内角，，的对边分别是，，，且，．
求；
若，边上的高为，求的周长．
18.本小题分
如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．
求证：；
求证：；
设与平面所成角为，且，，求四棱锥的体积．
19.本小题分
叙述正弦定理；
用向量法证明正弦定理以锐角三角形为例；
类比上述方法，解决以下问题：
如图，直线与的边，分别相交于，，设，，，，试用向量的方法探究与的边角之间的等量关系．
参考答案
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15.解：将两个红球编号为，，三个黄球编号为，，，
第一次摸球时有种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有种等可能的结果，
将两次摸球的结果配对，组成种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有种，即，，，，，，，，
．
第二次摸到红球的可能结果也有种，即，，，，，，，，
．
事件”两次摸到都是红球“包含个可难结果，即，，
则两次摸到都是红球的概率为，
两次摸到的不都是红球的概率为：
．
16.因为第二组的频率为，
所以，
所以，
补全频率分布直方图如下：
观众年龄的众数为，
因为，，
所以中位数位于，设年龄的中位数为，
则，解得，
年龄的平均数为：
．
17.，
由正弦定理可得，
，可得，可得，
，
或；
由，可得，
，可得，
，可得，
又由，可得，
又，
或，
的周长．
18.解：证明：因为四边形是矩形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，又因为平面，
平面平面，
所以；
证明：在等边中，因为为的中点，
所以，
因为侧面为矩形，所以．
因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，
所以．
过作的垂线，垂足为，
由可知，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，且，平面，
所以平面，
又，
则就是与平面所成的角，
所以，
因为，
所以在中由余弦定理可得：，
所以，易知，即为的中点，
因为，所以，
又且，且，平面，
所以平面，
因为四边形为梯形且，
所以，
因为平面，
所以．
19.正弦定理的内容是：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即；
证明：如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，
可得与的夹角为，与的夹角为，
可得，
所以，
可得，可得，
同理，过点作与垂直的单位向量，可得，
所以，得证；
由题意，直线与的边，分别相交于，，设，，，，
如图，，
设单位向量，
可得，
过点作的平行线，可得，
又因为，
，
所以，
当为零角、直角、钝角时，仍然成立．
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