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2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.某校举办“迎七一”红歌比赛，五位评委给某参赛班级的评分分别为，，，，，若这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列命题正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面
B. 用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形
C. 一个棱柱至少有五个面
D. 如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行
6.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.已知，为第四象限角，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于平面向量，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数，使
C. 若不相等，则一定不共线
D. 若，则
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的一条对称轴为
C. 在上单调递增
D. 将的图象上各点的横坐标向右平移个单位纵坐标不变可得的图象
11.在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为棱上一动点，下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与平面的交点是的重心
C. 直线与直线的夹角余弦值为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.函数的定义域为______．
14.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且，则该四面体外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
求；
若在复平面内的点分别是对应向量，的坐标，且，求的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知函数，．
求函数的单调递减区间；
若方程在区间上有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，分别是，的中点，沿将梯形翻折，使，如图．
证明：平面；
证明：平面平面；
求与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利布洛卡于世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角．
如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
若，，，求；
已知，
若，求的值；
若，求．
参考答案
1.
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14.
15.，，
，，
；
若在复平面内的点分别是对应向量，的坐标，
则；
，，
，
；
，．
16.因为，
所以，
因为，
所以，
可得，
又因为，
可得；
由，得，
由余弦定理可得，即，
所以，
所以的周长为．
17.根据，解得，
所以的单调递减区间为；
当时，，
根据正弦函数在上单调递增，可知在上为增函数，
的最小值为，最大值为，
可得在上的值域为，
因此，若方程在区间上有解，
即在区间上有解，可得的取值范围为．
18.证明：由题可得，平面，平面，
所以平面．
证明：由题知：，，，分别是，的中点，
所以，所以，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
取中点，连接，
由题，所以为等边三角形，
所以，且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，过作，且，过作，垂足为，连接，
所以，故四边形为矩形，
所以，，，
又，所以，且，
故四边形为平行四边形，
所以，，
因为平面，所以，，
所以，，，
所以平面，
故即为与平面所成角，
则
所以．
故CD与平面所成角的余弦值为．
19.因为中，，所以，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，即．
由题知
因为，所以，
即，
因为，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得：
，
整理得：
又，
又由知，，
所以，
所以，
整理得：，
即，
所以，即，
所以．
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