资源简介

2024-2025 学年湖北省恩施州高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 3 ，则 的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A.一 B.二 C.三 D.四
2.设 , 为非零向量，若( + ) ( ) = 0，则( )
A. = B. = C. = 0 D. | | = | |
3.已知函数 ( ) = cos( + )， ∈ ( , ) ，若函数 ( )在 = 4处取得最小值，则 =( )
A. 3 34 B. 4 C. 4 D. 4
4.学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传
组”多 8 人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选
出的人中有 3 人来自“检录组”，4 人来自“计分组”，1 人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务
协会“计分组”的人数为( )
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
5.△ 中， 为 的中点， 为 的中点，则 =( )
A. 3 + 1 B. 3 1 C. 5 1 D. 5 1 4 4 4 4 4 4 4 + 4
6.△ = 1中， 3 , 为△ 的外心，则 sin∠ =( )
A. 2 2 B. 23 3 C.
1 6
3 D. 6
7.正方体 1 1 1 1中， = 2， 是 的中点，则点 到平面 1 的距离为( )
A. 6 6 6 66 B. 4 C. 3 D. 2
8.锐角△ 的内角 ， ， 满足 = 2 ，则 的取值范围为( )
A. (0, 12 ) B. (
1
3 , 1) C. (0,1) D. (
1
2 , 1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若复数 满足( + 1) = 1，则 的虚部为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
10.函数 ( ) = sin( + )( > 0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
第 1页，共 8页
A. ( ) = cos(2 3 )
B. 11 点( 12 , 0)是函数 ( )的图象的一个对称中心
C.函数 ( ) = sin( + ) 16 图象上的所有点的横坐标缩短为原来的2，得到函数 ( )的图象
D.函数 ( ) 的图象向右平移3个单位长度，得到的图象关于 轴对称
11.已知函数 ( ) = ，则下列说法正确的是( )
A. ( + 2 )是偶函数 B. ( + ) = ( )
C. 8函数 ( ( ))在(0, )内有零点 D.方程 ( ) = 3无解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1+ 2 .已知 22 2 + 2 = 1，则tan = ______．
13.已知非零向量 = ( ,0)， = (1,1)，若 与 的夹角为4，则 = ______．
14 .记一个长方形的长为 ，宽为 ， > 且 ， ∈ .若 + = 4 1，则该长方形周长的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin( + 4 )．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若 ( ) ≤ cos( + 4 ) + 对 ∈ 恒成立，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = 1， = 2，过点 作 、 的垂线，垂足分
别为 、 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正切值．
第 2页，共 8页
17.(本小题 15 分)
某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长(单位：小时)的调研，现随机抽取 40 名学生的平
均每周球类运动时长进行数据整理，按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]进行分组，绘制了如
图所示的频率分布直方图．
(1)若将平均每周球类运动时长大于或等于 10 小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有
1200 名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数；
(2)若小明的平均每周球类运动时长为 10.5 小时，试估计其是否超过该年级 80%的学生；
(3)若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为 8 ， + 3，3 + 1，当其方差 2最小时，求
的值．
18.(本小题 17 分)
△ + 6已知 的内角 , , , = ( 2sin 2 , cos 2 ), | | = 2 ．
(1)求 的值；
(2)求 的取值范围；
(3)若 是边 上的一点，当∠ 最大时， = ( 1, 3)，求 的长．
19.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = = = = = 2．
(1) ∠ = 若 3 , = ，记三棱锥 外接球的球心为 ．
( )求证： //平面 ；
( )求三棱锥 外接球的表面积．
(2) 记∠ = , ∈ (0, 2 )，当∠ = 2 + 时，求三棱锥 体积的最大值．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.1
14.34
15.(1) 因为函数 ( ) = sin( + 4 )，
3
由2 + 2 ≤ + 4 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
5
解得4 + 2 ≤ ≤ 4 + 2 , ∈ ；

所以函数 ( )的单调递减区间为[ 4 + 2 ,
5
4 + 2 ], ∈ ；

由 2 + 2 ≤ + 4 ≤ 2 + 2 , ∈ ，
3 解得 4 + 2 ≤ ≤

4 + 2 , ∈ ．
所以函数 ( ) [ 3 + 2 , 的单调递增区间为 4 4 + 2 ], ∈ ．

综上，函数 ( )的单调递减区间为[ 4 + 2 ,
5
4 + 2 ], ∈ ；
单调递增区间为[ 3 4 + 2 , 4 + 2 ], ∈ ．
(2) ( ) ≤ cos( + 4 ) + ，即 sin( +

4 ) cos( +

4 ) ≤ ，
即 2 ≤ ．
第 4页，共 8页
因为 ∈ [ 1,1]，
所以 2 ∈ [ 2, 2]．
故 ≥ 2，
所以实数 的取值范围为：[ 2, + ∞)．
16.(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)由(1)得， ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥
又因为 ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
所以 在平面 内的射影为 ，
所以 在平面 成角为∠ ，
1 1
又 ⊥ ，根据△ 面积可得， × × 2 = × × 2，
即 1 × 2 × 12 = 5 × ×
1
2，
2 5
解得 = 5 ，
所以在 △ 中，根据勾股定理可得 = 55 ，
故 tan∠ = 1 = 2，
所以 与平面 1所成角的正切值为2．
17.(1)由频率分布直方图，可得(0.025 + 0.0625 + 0.1125 + 0.15 + + 0.05) × 2 = 1，解得 = 0.1．
平均每周球类运动时长大于或等于 10 小时的人数为(0.1 + 0.05) × 2 × 40 = 12．
12
估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为 1200 × 40 = 360．
(2)由题意，需要确定平均每周球类运动时长的 80%分位数，
因为(0.025 + 0.0625 + 0.1 + 0.1125 + 0.15) × 2 = 0.7 < 0.8，
0.7 + 0.1 × 2 = 0.9 > 0.8，故 80%分位数位于[10,12)内．
第 5页，共 8页
0.8 0.7
所以 10 + 2 × 0.9 0.7 = 11，所以 80%分位数为 11．
因为 10.5 < 11，所以没有超过该年级 80%的学生．

(3) 8 + +3+3 +1由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为 = 3 = 4 + ．
2 2
2 (8 ) + ( +3 ) + (3 +1 )2 = 3
(4 2 )2 + (2 3)2 +1
= 3
7 3
= 8
2 28 +26 8( )2+
3 =
4 2
3 ，
7
所以当 = 24时， 最小．
18.解(1)因为△ 的内角 , , , = ( 2sin + 2 , cos

2 ), | | =
6
2 ，
所以 2 = | |2 = 3 + 32，即( 2sin
2 2
2 ) + (cos 2 ) = 2，
2 2 + + cos2 = 1 cos( + ) + 1+cos( ) 3即 2 2 2 = 2，
整理可得 2 ( + ) = cos( )，
则 2( ) = + ，即 = 3 ．
1
化简整理可得“ = = 3；
(2)在△ 中， = tan( + ) = + 31 = 2 ( + )，
由(1)知 = 13 > 0，且 ， 是△ 的内角，
可得 > 0， > 0，
所以 + ≥ 2 = 2 13 =
2 3
3 ，当且仅当 = 时等号成立，
所以 32 ( + ) ≤
3 × 2 32 3 = 3，
所以 ≤ 3，当且仅当 = 时等号成立，
可得 ∈ ( 2 ,
2
3 ]；
(3)当∠ 最大时， = 2 3 , = =

6，
由 = ( 1, 3)，可得| | = ( 1)2 + ( 3)2 = 2，
因为 ∈ ，当 与 和 点重合时， = | | = 2，
第 6页，共 8页
5 当 与 和 点不重合时，可得∠ ∈ ( 6 , 6 )，
1
所以 sin∠ ∈ ( 2 , 1],
在△ 中，由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
2
即 1 = sin∠ ，
2
可得 = 4 ∠ ，
又 sin∠ ∈ ( 12 , 1]，所以 ∈ (2,4]，
综上， 的长的取值范围是[2,4]．
19.(1)( )证明：因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， = ，
作 ⊥ ，则 为 的中点，且 ⊥平面 ．
因为 = ， = = = 2.所以底面四边形 为菱形，
因为∠ = 3，所以△ 为等边三角形， = 2 × 1 × 3 = 2 3，
设△ 2 3外接圆的半径为 ，由正弦定理得sin∠ = sin2
= 2 ，
3
解得 = 2，设△ 外接圆圆心为 1，则 1 = 1 = 1 = = 2．
又 = = = 2，从而 1与 重合，即 为△ 外接圆圆心．
由三棱锥 的外接球的性质，即 ⊥平面 ，又 ⊥平面 ，所以 // ，
因为 平面 ，所以 / /平面 ．
( )由题意，△ 为正三角形，则△ 外接圆的圆心在 上，记为 2，
由正三角形性质可得圆 2的半径 =
2 = 2 3 32 3 3 ，则 2 = 3 ．
连接 2，则 2 ⊥平面
3
，所以 2为矩形， = 2 = 3 ．
三棱锥 的外接球 = = 2 + 2 = 393 ．
52
所以三棱锥 的外接球的表面积 = 4 2 = 3 ．
第 7页，共 8页
(2)由(1)可知， ⊥平面 ， 为三棱锥 底面 上的高， = 3．
要使得三棱锥 体积的最大，只需底面△ 的面积最大．
连接 ，那么 2 = 2 + 2 2 = 8 8 , = 2 2 1 = 4 2．

又2 ≤ 3 ≤ .因为∠ =

2 + ，所以2 ≤ 3 ≤ ．
= 1所以 △ 2 sin∠ = 4
3
2 sin 2 = 4 2 (sin

2 + cos 2 )
= 4 2 2 + 4

2 cos

2 = 2 (1 ) + 2
2 = 2 2 2 ．
从而 2△ = 2 2(2 1) = 4 2 + 2 + 2．
= , = 4 2 + 2 + 2 = 4( 1 )2 + 9令 △ 4 4，所以 = =
1
4时，面积最大．
9 1 3 9 3 3△ = 4 .故 = 3 △ ≤ 3 × 4 = 4 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑