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2024-2025 学年河北省秦皇岛三中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 1+ .复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
2.在一次数学测试中，有 8 位同学的分数分别是：115，118，125，130，130，132，136，140，则这组
数据的 75 百分位数是( )
A. 130 B. 132 C. 134 D. 136
3.已知圆锥的母线长为 2，高为 3，则圆锥的全面积为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.如图，在平行四边形 中，连结 ，下列运算正确的是( )
A. + =
B. + =
C. =
D. =
5.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 45°， = 3， = 2，则 =( )
A. 2 B. 5 C. 17 D. 21
6.袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，3 个黄球，从中随机摸出 1 个球，则摸到红球的
概率为( )
A. 2 3 6 195 B. 5 C. 25 D. 25
7.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列四个命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
8.某校组织 50 名学生参加庆祝中华人民共和国成立 75 周年知识竞赛，经统计这 50 名学生的成绩都在区
间[50,100]内，按分数分成 5 组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分
布直方图(不完整)，根据图中数据，下列结论错误的是( )
A.成绩在[80,90)上的人数最多
B.成绩不低于 70 分的学生所占比例为 70%
C. 50 名学生成绩的平均分小于中位数
D. 50 名学生成绩的极差为 50
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = (1 )(6 + )，则( )

A. = 7 + 5 B. | 2| = 5 2
C. + 7 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.新高一学生会对物理、历史 2 门课程进行选科，每位同学从中选择 1 门课程学习.现对该校 2000 名学生
的选科情况进行了统计，如图①，并用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取 5%的学生对所选课程进行
了满意率调查，如图②．
则下列说法正确的是( )
A.满意率调查中抽取的样本容量为 2000
B.该校学生中对物理课程满意的人数约为 720
C.若抽取的学生中对历史课程满意的人数为 32，则 = 80
D.抽取的学生中对物理课程满意的人数多于对历史课程满意的人数
11.如图，三棱台 ′ ′ ′的侧棱长均相等，△ 和△ ′ ′ ′都是等边三角形， ′ ′ = 2，
= 4， ′ = 2，则( )
A. 直线 ′与直线 ′所成的角为3
B.直线 与直线 ′ ′所成的角为3
C.三棱台 ′ ′ ′的体积为 2 2
D. 7 2三棱台 ′ ′ ′的体积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2,2)， = ( 1, 3)，若 ， ， 三点共线，则 = ______．
13 3 4.甲、乙两人向同一目标各射击 1 次，已知甲、乙命中目标的概率分别为4，5，则目标至少被击中 1 次的
概率为______．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 60°， + = 6， = 2 3，则△ 的面积为
______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率直方图如图所示.观察
图形，回答以下问题：
(1)[79.5,89.5]这一组的频率和频数分别为多少？
(2)估计该次环保知识竞赛的及格率(60 分以上为及格)；
(3)估计这组数据的 80 百分位数．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,4)， = (2,3)．
(Ⅰ)求 + 2 的坐标；
(Ⅱ)求| |；
(Ⅲ)若 = ，且 ⊥ ，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以
弹射到空中进行气象观测．如图所示， ， ， 三地位于同一水平面上，这种仪器在 地进行弹射实验，观
测点 ， 2两地相距 100 米，∠ = 60°在 地听到弹射声音的时间比 地晚17秒．在 地测得该仪器至最高
点 处的仰角为 30°．
(1)求 ， 两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度 (已知声音的传播速度为 340 米∕秒)
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18.(本小题 17 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，点 为棱 1的中点．
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求异面直线 1与 所成角的大小；
(3)求直线 1与平面 1 1所成角的正切值．
19.(本小题 17 分)
是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用
的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值，并估计该校学生当日使用 的时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表)；
(2)若使用时间不小于 2 小时的用户称为“ 资深用户”，其中使用时间在[2,2.5)内的用户称为“青
铜用户”，使用时间在[2.5,3)内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解 对学习的辅助效果，该
校新闻中心采用分层抽样的方法在“ 资深用户”中抽取了 6 名学生进行问卷调查，并从这 6 名学
生中随机选择 2 名学生进行访谈，求这 2 名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.1920
14.2 3
15.(1)根据题目容易知，79.5 89.5 这一组数据的频率为 0.025 × (89.5 79.5) = 0.25，
79.5 89.5 这一组数据的频数为 60 × 0.25 = 15；
(2)及格率为 1 0.01 × 10 0.015 × 10 = 75%；
(3)因为数据落在[39.5,79.5)的频率为 0.7，
数据落在[79.5,89.5)的频率为 0.25．
设这组数据的 80 百分位数为 ，
所以 ∈ [79.5,89.5)，
79.5 0.1
所以89.5 = 0.15，故 = 83.5，
即这组数据的 80 百分位数为 83.5．
16.(Ⅰ)向量 = (1,4)， = (2,3)．
则 + 2 = (1,4) + 2 × (2,3) = (5,10)；
(Ⅱ) = (1,4)，则| | = 12 + 42 = 1+ 16 = 17；
(Ⅲ) = = (1,4) (2,3) = ( 2，4 3)，
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因为 ⊥ ，
所以 = 2( 2) + 3(4 3) = 0 13，解得 = 14．
17.解：(1)由题意，设 = ，则
∵ 2在 地听到弹射声音的时间比 地晚17秒
∴ = 217 × 340 = 40，
在△ 内，由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即( 40)2 = 2 + 10000 100 ，解得 = 420．
(2)在△ 中， = 420，∠ = 30°，
∴ = tan∠ = 140 3米．
答：该仪器的垂直弹射高度 为 140 3米．
18.(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
在△ 1中，点 为棱 1的中点， 为 的中点，所以 // 1，
因为 1 平面 ， 平面 ，所以 1//平面 ；
(2)解：由 // 1，可知∠ (或补角)为异面直线 1与 所成的角，
由题意得 = = = 1， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
所以 = = = 2，
因为 = ， 为等边三角形△ 的中线，
∠ = 所以 6，可得异面直线 1与 所成的角为6；
(3)解：连接 1，
根据 1 1 ⊥平面 1 1，可得∠ 1 1为直线 1与平面 1 1所成的角，
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在 △ 1 1中， 1 1 ⊥ 1， 2 21 1 = 1, 1 = 1 + 2 = 5，
所以 tan∠ 1
5
1 = ，可得直线 1与平面
5
5 1
1所成的角的正切值为 ．5
19.(1)根据题意可知，0.5 × 0.2 + 0.5 × 0.48 + 0.5 + 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.2 = 1，∴ = 0.72，
平均值为，0.75 × 0.1 + 1.25 × 0.24 + 1.75 × 0.36 + 2.25 × 0.2 + 2.75 × 0.1 = 1.73，
(2)根据题意可知，抽取的 6 名学生中，青铜用户选 4 名，记为 ， ， ， ，铂金用户选 2 名，记为 ， ，
样本空间 = { , , , , , , , , , , , , , , }，
设事件 =“这 2 名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则 = { , , , , , , , }，
∵抽中样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，∴这是一个古典概型，
∴ ( ) = 815．
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