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2024-2025学年湖北省恩施州高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.设为非零向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，，若函数在处取得最小值，则( )
A. B. C. D.
4.学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有人来自“检录组”，人来自“计分组”，人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为( )
A. B. C. D.
5.中，为的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.中，为的外心，则( )
A. B. C. D.
7.正方体中，，是的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.锐角的内角，，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 点是函数的图象的一个对称中心
C. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象
D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B.
C. 函数在内有零点 D. 方程无解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知非零向量，，若与的夹角为，则 ______．
14.记一个长方形的长为，宽为，且，若，则该长方形周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对恒成立，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，过点作、的垂线，垂足分别为、．
求证：平面；
求与平面所成角的正切值．
17.本小题分
某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长单位：小时的调研，现随机抽取名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按，，，，，进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
若将平均每周球类运动时长大于或等于小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数；
若小明的平均每周球类运动时长为小时，试估计其是否超过该年级的学生；
若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，，，当其方差最小时，求的值．
18.本小题分
已知的内角．
求的值；
求的取值范围；
若是边上的一点，当最大时，，求的长．
19.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，．
若，记三棱锥外接球的球心为．
求证：平面；
求三棱锥外接球的表面积．
记，当时，求三棱锥体积的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为函数，
由，
解得；
所以函数的单调递减区间为；
由，
解得．
所以函数的单调递增区间为．
综上，函数的单调递减区间为；
单调递增区间为．
，即，
即．
因为，
所以．
故，
所以实数的取值范围为：．
16.证明：因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，所以，又，，平面，且，
所以平面．
由得，平面，又平面，
所以
又因为，，平面，且，
所以平面，
所以在平面内的射影为，
所以在平面成角为，
又，根据面积可得，，
即，
解得，
所以在中，根据勾股定理可得，
故，
所以与平面所成角的正切值为．
17.由频率分布直方图，可得，解得．
平均每周球类运动时长大于或等于小时的人数为．
估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为．
由题意，需要确定平均每周球类运动时长的分位数，
因为，
，故分位数位于内．
所以，所以分位数为．
因为，所以没有超过该年级的学生．
由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为．
，
所以当时，最小．
18.解因为的内角，
所以，即，
即，
整理可得，
则，即．
化简整理可得“；
在中，，
由知，且，是的内角，
可得，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
可得；
当最大时，，
由，可得，
因为，当与和点重合时，，
当与和点不重合时，可得，
所以
在中，由正弦定理可得，
即，
可得，
又，所以，
综上，的长的取值范围是．
19.证明：因为平面平面，平面平面，，
作，则为的中点，且平面．
因为，所以底面四边形为菱形，
因为，所以为等边三角形，，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
解得，设外接圆圆心为，则．
又，从而与重合，即为外接圆圆心．
由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面．
由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为，
由正三角形性质可得圆的半径，则．
连接，则平面，所以为矩形，．
三棱锥的外接球．
所以三棱锥的外接球的表面积．
由可知，平面，为三棱锥底面上的高，．
要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大．
连接，那么．
又因为，所以．
所以
．
从而．
令，所以时，面积最大．
故．
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