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2024-2025学年江西省景德镇一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，有且仅有个面的是( )
A. 六棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱锥 D. 五棱柱
2.已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，，，若：：，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5.给出下列四个命题：
正三棱锥所有的棱长相等；
底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；
以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
6.在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直且的面积为，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，棱长为的正方体中，为棱中点，为棱中点，点在侧面上运动含边界，若平面，则点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则( )
A. 四点，，，在同一平面内
B. 三条直线，，有公共点
C. 直线与直线相交
D. 直线上存在点使，，三点共线
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的是( )
A. 异面直线与所成的角是
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是菱形
C. 存在点，使得平面
D. 正四面体的高为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在长方体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱有______条
13.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线的平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为______．
14.如图，已知正四棱锥的棱长均为，，分别是，的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点，平面平面．
求证：
与平面是否平行？试证明你的结论．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点求证：
平面；
若，，求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在多面体中，为等边三角形，，，点为的中点，平面平面．
求证：平面；
设点为上一点，且，求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，长方体中，，，点为的中点．
求证：平面平面；
求直线与平面所成的角的正弦值；
在直线上是否存在点使得面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，正四棱锥和正四面体的所有棱长均相等，为的中点．
证明：；
证明：点，，，共面；
判断是否垂直于平面，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为平面平面，
所以
平行．
如图：
取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，且，
，是的中点，
且．
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
16.解：证明：因为，分别为，的中点，所以，
因为直三棱柱性质可得，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
由底面为直角三角形，，则，
又，则，
由直三棱柱性质可得平面，
又、平面，则、，又、平面，
，
故DE平面，又平面，
故DE，
又、，，
则，
设点到平面的距离为，
则由，
可得，
即，
即点到平面的距离为．
17.证明：因为平面平面，且平面平面，
，平面，
故CE平面，
因为平面，所以．
又为等边三角形，为的中点，故AF，
因为，，平面，
所以平面．
由于平面，平面，故AF，
因为为等边三角形，为的中点，故AF，
所以为二面角的平面角．
因为，
故，
所以，
故二面角的余弦值为．
18.证明：因为平面，又因为平面，
所以，
又因为，则底面为正方形，所以，
又因为，、平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
令，连接、，由长方体性质可得，
则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，
由知平面，
所以等于直线与平面所成的角，
，，
则，
即直线与平面所成的角的正弦值为；
存在，且，即点与重合，连接、、，
则，
，
，
有，所以，
由平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
故在直线上存在点使得平面，且．
19.解；证明：取中点，连接，，，，
是正四棱锥，是正四面体，为的中点，
，，
，，平面，
平面，又平面，
；
证明：是正四棱锥，是正四面体，为的中点，
，，
，，平面，平面，
又，，平面，平面，
平面与平面重合，
，，，四点共面，
设正四面体与正四棱锥的棱长为，
则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，，四点共面；
假设平面，平面，，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形，则，
与，矛盾，
故假设不成立，
与平面不垂直．
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