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2024-2025学年上海大学附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有下列命题：
与是否相等与，的方向无关；
两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
单位向量都是共线向量．
其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的( )
A. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
3.已知集合，，若，则、之间的关系是( )
A. B. C. D.
4.设函数若实数，，使得对任意的实数恒成立，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共38分。
5.不等式的解集为______．
6.函数的最小正周期是______．
7.在锐角中，若，则等于______．
8.已知复数是纯虚数，则复数的虚部为______．
9.已知复数满足，则 ______．
10.已知，若与夹角为锐角，则的取值范围为______．
11.设是平面上两个不共线的向量，；若，，三点共线，则的值为______．
12.已知中，三边分别为，，，所对角为、、，若，则 ______．
13.在中，为中点，，，则 ______．
14.如果，是方程的两根，则______．
15.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿已知平面向量，为单位向量，若平面向量满足，则的最大值是______．
16.对任意闭区间，用表示函数在上的最小值若正数满足，则的取值集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，．
无论常数为何值，均过一定点，写出此定点坐标；
关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围．
18.本小题分
平面内给定三个向量．
求向量在上的投影的坐标；
若，求实数．
19.本小题分
已知关于的方程，．
若上述方程有虚数根，求实数的取值范围；
若上述方程的两根为，，且，求实数的值．
20.本小题分
已知函数．
求出函数的单调增区间；
当时，求函数的最大值；
若当时，恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
给定函数，．
直接写出的值；
若，求的值域；
设，证明：对任意，都存在实数以及无穷多对正整数对，使得成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.．
17.令，解得，
，因此定点坐标为
由 ，，
可得．
因此解集 ．
若，则．
所以，解得，
故的范围为．
18.由，
可得向量在上的投影的坐标为：
；
由题意，，，
若，则存在，使得，
即，
即，解得．
19.方程有虚数根，
，
则的取值范围为；
时，
；
时，
，则，
综上， 的值为 ．
20.
，
令，，
解得，，
函数的单调增区间为，；
，，
当时，取得最大值；
由知，，恒成立，
当时，恒成立，
当时，关于的一次函数，
则，
综上所述，的范围为．
21.．
若
，
，
，
原式等价于，对称轴为，
当，函数取最大值，
当，函数取最小值，
所以的值域为，
由题意知，
当时，，
易知，
由比较判断法知发散，即是发散的，
由逼近定理知：对于任意实数和正整数，存在整数和，其中，
使得，而对于数列在模下是均匀分布的，
故一定存在无穷多个正整数，使得与某个整数的距离小于，
即，此时取，则，满足任意，
都存在实数及无穷多对正整数对使得成立，证毕．
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