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第1讲　功和功率
【目标任务】
1.理解功的概念，会判断正功和负功，会计算功的大小。2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。3.会分析、解决机车启动的两类问题。
【知识特训】
知识必记
一、功
1.做功的两个必要条件：　　　　和物体在力的方向上发生的　　　　。
2.公式：W=Flcos α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体对地的位移。
3.功的正负判断
夹角 功的正负
0°≤α<90° 力对物体做　　　
90°<α≤180° 力对物体做　　　　，或者说物体　　　　这个力做了功
α=90° 力对物体　　　
二、功率
1.定义：功与完成这些功所用　　　　的　　　　。
2.物理意义：描述做功的　　　　。
3.公式
(1)P=，P为时间t内的　　　　。
(2)P=Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为　　　　。
②v为瞬时速度，则P为　　　　。
4.额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械　　　　时输出的　　　　功率。
(2)实际功率：动力机械　　　　时输出的功率，一般情况下要　　　　额定功率。
5.发动机功率：机车发动机的功率P=　　　，F为　　　力，并非机车所受的合力。
基础必验
1.思考判断
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则该力一定对物体做功。 (　　)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。 (　　)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。 (　　)
(4)力始终垂直物体的运动方向，则该力对物体不做功。 (　　)
(5)摩擦力对物体一定做负功。 (　　)
(6)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。 (　　)
2.[正功与负功]如图所示，摆球(可视为质点)的质量为m，悬线的长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　)
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为0
C.空气阻力做功为-mgL
D.空气阻力做功为-F阻πL
3.[功率的计算]质量为m的小鸟，以沿着与水平方向成θ角斜向上的速度v匀速飞行，重力加速度大小为g，则 (　　)
A.小鸟处于超重状态
B.空气对小鸟作用力的方向与v的方向相反
C.空气对小鸟作用力的大小为mg
D.重力对小鸟做功的功率为-mgv
【能力特训】
特训点一　功的正负判断和大小的计算(自主冲关类)
1.[功的正负判断](2024·河南安阳模拟)(多选)如图所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用水平恒力F作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动。已知物体和木板之间的摩擦力为f。当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此过程中 (　　)
A.力F对物体做功的大小为F(L+x)
B.摩擦力对物体做功为-fL
C.摩擦力对物体做功为-fx
D.摩擦力对木板做功为fx
2.[恒力及合力做功的计算](多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ=30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，g取10 m/s2。在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.斜面对物体的支持力做功为900 J
B.斜面对物体的摩擦力做功为-300 J
C.物体克服重力做功为-800 J
D.合力对物体做功为400 J
1.功的正负
2.功的计算
(1)恒力做功
(2)几种力做功的比较
①重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关。
②滑动摩擦力、空气阻力做功与路径有关。
③摩擦力做功
A.单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
B.相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
C.相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体机械能转化为内能，转化的内能为Ffx相对。
(3)合力做功
方法一 先求合力F合，再用W合=F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程
方法二 先求各个力做的功W1，W2，W3，…，再应用W合=W1+W2+W3+…求合力做的功
特训点二　求解变力做功的几种思路(逐点突破类)
1.[利用“微元法”求变力的功](2024·河南开封一模)水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m=2.0 kg的小球(可视为质点)。现对小球施加一个沿桌面且大小恒为10 N的力F，F拉着物体从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是 (　　)
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
将物体的位移分割成许多小段，因每小段都很小，每一小段上作用在物体上的力均可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于解决大小不变、方向改变的变力做功问题。
2.[利用F-x图像求变力做功](2024·河南洛阳检测)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，则物体在x=7 m处的速度大小为 (　　)
A.2 m/s B.2 m/s
C.5 m/s D.4 m/s
3.[利用“转化法”求变力做功](2024·安徽模拟)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个小滑块，小滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使小滑块从A点起由静止开始上升，小滑块运动到C点时速度最大。已知小滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的水平距离为d，∠OAO'=37°，∠OCO'=53°，重力加速度为g。求：(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)
(1)拉力F的大小；
(2)小滑块由A到C过程中拉力F做的功。
通过转换研究的对象，有时变力做功可转化为恒力做功，用W=Flcos α求解。此法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
特训点三　功率的分析与计算(自主冲关类)
1.[对功率的理解]关于某力做功的功率，下列说法正确的是 (　　)
A.该力越大，其功率就越大
B.该力在单位时间内做的功越多，其功率就越大
C.功率越大，说明该力做的功越多
D.功率越小，说明该力做功的时间越少
2.[平均功率的计算](2023·山东卷)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 (　　)
A. B.
C. D.nmgωRH
1.平均功率的计算方法
(1)利用=。
(2)利用=Fcos α，其中为物体运动的平均速度。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P=Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P=FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
3.求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。计算瞬时功率时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
(2)求平均功率首选=，其次是用=F·cos α，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。
(3)求瞬时功率用P=Fvcos α，要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。
特训点四　机车启动模型(综合提升类)
1.两种启动方式的比较
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图 像和 v-t 图像
OA 段 过程 分析 v↑ F=↓ a=↓ a=不变 F不变v↑ P=Fv↑直到P额=Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间t0=
AB 段 过程 分析 F=F阻 a=0 vm= v↑ F=↓ a=↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F=F阻 a=0 以vm=做匀速直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动方式，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm=。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v=(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W=Pt，由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。
典例 (2024·陕西安康高三月考)某汽车质量m=2 000 kg，发动机的额定功率为P，汽车在路面上行驶时受到的阻力为车对路面压力的。若汽车从静止开始以a=1 m/s2的加速度在水平路面上匀加速启动，t1=20 s时，达到额定功率。此后汽车以额定功率运动，t2=100 s时速度达到最大值，汽车的v-t图像如图所示，取g=10 m/s2。求：
(1)该汽车的额定功率P；
(2)当速度为25 m/s时，汽车的加速度大小；
(3)汽车在0~t2时间内的位移大小x。
①审题关键点：发动机的额定功率为P，汽车从静止开始以a=1 m/s2的加速度在水平路面上匀加速启动，t1=20 s时，达到额定功率，此后汽车以额定功率运动。
②解题切入点：a.由图像读出汽车的最大速度，当汽车达到最大速度后做匀速直线运动，牵引力和阻力大小相等，由P=Fv求解汽车的额定功率P；b.当速度为25 m/s时，先根据P=Fv求出牵引力大小，再由牛顿第二定律求出加速度大小；c.汽车在0~t1内做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移—时间公式求出位移；汽车在t1~t2内做加速度逐渐减小的变加速直线运动，牵引力做功为P(t2-t1)，阻力做功为Ffx2，根据动能定理求位移x2，从而求得总位移。
对点特训
1.[机车启动的图像问题](2024·山东济南模拟)一辆玩具赛车在水平直线跑道上由静止开始以10 kW的恒定功率加速前进，赛车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a的关系如图所示，已知赛车在跑道上所受到的阻力不变，赛车到达终点前已达到最大速度。下列说法正确的是 (　　)
A.赛车做加速度逐渐增大的加速直线运动
B.赛车的质量为20 kg
C.赛车所受阻力大小为500 N
D.赛车速度大小为5 m/s时，加速度大小为50 m/s2
2.[动车功率问题](2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为 (　　)
A. B.
C. D.
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.力　位移　3.正功　负功　克服　不做功
二、
1.时间　比值　2.快慢
3.(1)平均功率　(2)①平均功率　②瞬时功率
4.(1)正常工作　最大　(2)实际工作　小于或等于
5.Fv　牵引
基础必验
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√
2.C　解析：摆球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为-F阻·πL，C错误、D正确。
3.C　解析：小鸟匀速飞行，所受合力为零，既不超重也不失重，A错误；小鸟受重力和空气对小鸟的作用力，由于小鸟匀速飞行，则所受合力为零，即空气对小鸟的作用力与重力等大反向，B错误、C正确；功率公式P=Fv要求力与速度共线，所以重力对小鸟做功功率P=-mgvsin θ，D错误。
能力特训
特训点一
1.AD　解析：根据功的计算式，力F对物体做功W1=F(L+x)，A正确；物体受到的摩擦力向左，摩擦力对物体做功W2=-f(L+x)，B、C错误；木板受到的摩擦力向右，摩擦力对木板做功W3=fx，D正确。
2.AD　解析：物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Ffcos θ-FNsin θ=0，Ffsin θ+FNcos θ-mg=ma，代入数据得Ff=15 N，FN=15 N，又由匀变速直线运动公式有x=at2=40 m，斜面对物体的支持力所做的功WN=FNxcos θ=900 J，A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功Wf=Ffxsin θ=300 J，B错误；物体所受重力做的功WG=-mgx=-800 J，则物体克服重力做功为800 J，C错误；合力对物体做的功W合=WN+Wf+WG=400 J，D正确。
特训点二
1.A　解析：将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cos 37°，W2=Fl2cos 37°，…，Wn=Flncos 37°，故WF=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(l1+l2+…+ln)=Fcos 37°·=10×0.8××6 J=16π J，A正确、B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·=8π J，C、D错误。
2.A　解析：F-x图像与横轴围成的面积表示拉力所做的功，则物体的位移从0到7 m过程，拉力做的功W=3×4 J+×4 J=40 J，由动能定理得W=mv2-0，解得v=2 m/s，A正确。
3.(1)mg　(2)mgd
解析：(1)小滑块运动到C点时速度最大，则在C点有Fcos 53°=mg
解得F=mg。
(2)由能量守恒定律可知，拉力F对绳端点做的功就等于绳的拉力F对小滑块做的功
滑轮与A间绳长L1=
滑轮与C间绳长L2=
则滑轮右侧绳子增加的长度ΔL=L1-L2=-=
故拉力做的功W=FΔL=mgd。
特训点三
1.B　解析：由功率公式P=Fvcos α可知，功率的大小由F、v及它们间的夹角共同决定，F越大，功率P不一定越大，A错误；由P=可知，单位时间内力做的功越多，其功率就越大，但功率越大，该力做功不一定越多，功率越小，该力的作用时间不一定越少，B正确，C、D错误。
2.B　解析：由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入稻田的水的总质量m总=2πRnm×60%=1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W=1.2πRnmgH，则筒车对灌入稻田的水做功的功率P=，t=，联立有P=，B正确。
特训点四
典例　(1)80 kW　(2)0.6 m/s2　(3)2 800 m
解析：(1)由题图可知，汽车的最大速度vm=40 m/s，汽车达到最大速度时满足
F=Ff=0.1mg
汽车的额定功率
P=Fvm=8×104 W=80 kW。
(2)当速度v=25 m/s时，汽车牵引力
F'==3 200 N
由牛顿第二定律得F'-Ff=ma'
解得a'=0.6 m/s2。
(3)0~t1时间内汽车通过的位移
x1=t1=200 m
汽车在t1~t2时间内，根据动能定理得
P(t2-t1)-Ffx2=m-m
代入数据解得x2=2 600 m
所以0~t2时间内汽车通过的总位移大小
x=x1+x2=2 800 m。
对点特训
1.C　解析：由牛顿第二定律有-Ff=ma，可知赛车做加速度逐渐减小的加速直线运动，根据公式整理得=a+，可见-a图像的斜率为，与纵轴的截距为，结合图像可得=0.05 s/m，= s3/m2，解得m=25 kg，Ff=500 N，代入v=5 m/s，解得a=60 m/s2，C正确，A、B、D错误。
2.D　解析：由题意可知两节动车分别有P1=f1v1，P2=f2v2，当将它们编组后有P1+P2=(f1+f2)v，联立可得v=，D正确。

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