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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
【目标任务】
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
【知识特训】
知识必记
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的　　　　　。
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是　　　　运动。
3.物体做曲线运动的条件：物体所受　　　　　的方向与它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。
4.合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的　　　　　(选填“凹”或“凸”)侧。
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：由分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解：由合运动求分运动的过程。
2.遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循　　　　　定则。
3.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的　　　　　。
4.运动性质的判断
5.两个直线运动的合运动性质的判断依据：看合初速度方向与合加速度方向是否共线。
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 　　　　　运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 　　　　　运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，则为　　　　　运动
如果v合与a合不共线，则为　　　　　运动
基础必验
1.思考判断
(1)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。 (　　)
(2)速度发生变化的运动一定是曲线运动。 (　　)
(3)做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。 (　　)
(4)曲线运动可能是匀变速运动。 (　　)
(5)做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向曲线的凹侧。 (　　)
(6)船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度有关。 (　　)
2.[对曲线运动的理解](2024·河北模拟)如图所示，一无动力飞行爱好者在某次翼装飞行过程中，AB为其在同一竖直平面内滑翔的一段曲线轨迹。对于该过程，下列说法正确的是 (　　)
A.该爱好者在某点所受合力方向不可能沿轨迹的切线方向
B.该爱好者的速度可能保持不变
C.该爱好者的速度方向与加速度方向始终相互垂直
D.若该爱好者在某点所受合力方向与速度方向成锐角，爱好者的速度将减小
3.[运动的合成与分解的应用]如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，用轻绳跨过定滑轮连接的两物体的质量分别为m1和m2，且m1A.v2sin θ B.
C.v2cos θ D.
【能力特训】
特训点一　物体做曲线运动的条件与轨迹分析(自主冲关类)
1.[物体做曲线运动的条件及特点]某质点在几个恒力作用下做匀速直线运动，现突然将与质点速度方向相反的一个大小为F的力旋转90°，则下列关于质点运动状况的叙述正确的是 (　　)
A.质点的速度一定越来越小
B.质点的速度可能先变大后变小
C.质点一定做匀变速曲线运动
D.因惯性，质点继续做匀速直线运动
2.[轨迹、速度与力的位置关系]双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN，vM与vN正好成90°角，则在此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的 (　　)
A.F1 B.F2 C.F3 D.F4
3.[速率的变化与力的方向的关系](2024·湖北模拟)如图所示，某运动员主罚任意球时，踢出快速旋转的“落叶球”，则“落叶球” (　　)
A.在空中的运动轨迹是对称的
B.运动到最高点时速度为零
C.相比正常轨迹的球，下落更快
D.在最高点时加速度方向一定竖直向下
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。
2.速率变化的判断
合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
特训点二　运动的合成与分解的应用(逐点突破类)
1.[合运动轨迹和性质的判断]在水平桌面上放置一张纸，画有如图所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球沿y轴正方向运动(不计球与纸间的摩擦)，经过原点O时，白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，经过一段时间，纸面上留下的痕迹可能为 (　　)
A.
B.
C.
D.
1.合运动轨迹和性质的判断方法
(1)加速度(或合力)
(2)加速度(或合力)
方向与速度方向
2.合运动与分运动的关系
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
独立性 一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
2.[由分运动的图像分析物体的运动规律](2024·福建厦门模拟)厦门大学百年校庆当晚，百架无人机在夜空中排列出“厦门大学100周年校庆”的字样。若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x轴、y轴方向的v-t 图像分别如图甲、乙所示，则0~t2 时间内，该无人机的运行轨迹为 (　　)
甲　　　乙
A.
B.
C.
D.
(1)由x轴方向的v-t图像可以确定质点在x轴方向的初速度及加速度。
(2)由y轴方向的v-t图像可以确定质点在y轴方向的初速度及加速度。
(3)由F=ma可以确定质点所受的合力。
(4)根据v0与F的方向关系可以判断质点运动的性质及运动轨迹。
3.[根据运动轨迹分析物体的运动情况]将一物体由坐标原点O以初速度v0斜向上抛出，其在恒力作用下运动的轨迹如图所示，A为轨迹最高点，B为轨迹与水平x轴的交点，假设物体运动到B点时速度为vB，v0与x轴夹角为α，vB与x轴夹角为β。已知O、A间的水平距离x1大于A、B间的水平距离x2，则 (　　)
A.物体在B点的速度vB大于v0
B.物体从O到A的运动时间大于从A到B的运动时间
C.物体在O点所受合力方向指向第三象限
D.α可能等于β
运动的合成与分解的三要点
1.由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
2.恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向上的匀变速直线运动和垂直于力的方向上的匀速直线运动。
3.两个方向相互垂直的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
特训点三　小船渡河模型(综合提升类)
1.船的实际运动：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
渡河 时间 最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin=
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸的夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河 位移 最短 如果v船典例1 (2024·江苏模拟)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时船的行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小恒定，则小船在静水中的速度大小为 (　　)
A. B. C. D.
①审题关键点：a.去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直；b.去程与回程所用时间的比值为k。
②解题切入点：a.画简图；b.求时间。
对点特训
1.[最短时间渡河问题]如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水=x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的行驶速度大小恒为v船=4 m/s，则下列说法正确的是 (　　)
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5 m/s
C.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D.小船渡河所用的时间是160 s
2.[最短位移渡河问题](多选)如图所示，河的宽度为L，河水流速为v水，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。出发时两船相距2L，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列判断正确的是 (　　)
A.甲船正好也在A点靠岸
B.甲船在A点左侧靠岸
C.甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D.甲、乙两船同时到达对岸
3.[水流速度大于船在静水中速度的渡河问题](2024·湖南长沙高三模拟)2024年7月，受持续强降雨影响，湖南省华容县部分地区被淹，中国人民解放军南部战区组织官兵紧急救援。如图所示，假设在一次救援中，某河道水流速度大小恒为v，A处的下游C处有一个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点间的距离为r。若解放军战士驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中的速度最小值为 (　　)
A.v B.v C.v D.v
特训点四　“关联”速度的分解模型(综合提升类)
　　用绳(杆)连接的两个物体在运动时，如果速度的方向不在绳(杆)所在的直线上，则两物体的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
1.模型特点
(1)沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
(2)接触模型：两物体沿弹力方向的速度相等。
2.思路方法
(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示。
甲　　乙
(2)接触模型：首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求解。
典例2 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0 匀速运动。在半圆柱体上放置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体的接触点P和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，杆运动的速度大小v1为 (　　)
A.v0tan θ B.v0sin θ
C.v0cos θ D.
①审题关键点：a.半圆柱体沿水平方向向右以速度v0 匀速运动；b.此杆只能沿竖直方向运动。
②解题切入点：a.将杆的速度分解为沿切线方向和沿法线方向的两个分速度，将半圆柱体的水平运动速度分解为沿切线方向和沿法线方向的分速度；b.杆沿法线方向的速度分量等于半圆柱体沿法线方向的速度分量。
对点特训
1.[绳端速度分解模型]如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动，下列说法正确的是(　　)
A.当θ=60°时，P、Q的速度大小之比是∶2
B.当θ=90°时，Q的速度最大
C.当θ=90°时，Q的速度为零
D.在θ向90°增大的过程中，Q受到的合力一直增大
2.[杆端速度分解模型](2024·陕西西安阶段练习)甲、乙两小球(均可视为质点)用4 m长的轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离竖直墙壁3 m时，下列说法正确的是 (　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为4∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
3.[接触面速度分解模型]如图所示，一根长为L的匀质杆OA，O端用铰链固定，杆靠在一个高为h的物块上。某时刻杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度大小为v，则此时A点的速度大小为 (　　)
A. B.
C. D.
参考答案
知识特训
知识必记
一、
1.切线方向　2.变速　3.合力　4.凹
二、
2.平行四边形　3.效果
5.匀变速曲线　匀加速直线　匀变速直线　匀变速曲线
基础必验
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2.A　解析：曲线运动中，合力方向指向轨迹的凹侧，速度才沿轨迹的切线方向，A正确；曲线运动中速度一直在变化，B错误；曲线运动中速度方向和加速度方向不共线，但也不一定互相垂直，只有匀速圆周运动中，速度方向与加速度方向一直相互垂直，C错误；若爱好者在某点所受合力方向与速度方向成锐角，该爱好者将做加速运动，D错误。
3.C　解析：质量为m2的物体的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，合速度v2(实际运动)可由沿轻绳方向的分速度和垂直于轻绳方向的分速度合成(两个实际运动效果)。质量为m1的物体的速度v1与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出v1=v2cos θ，C正确。
能力特训
特训点一
1.C　解析：质点原来做匀速直线运动，力F与其余力的合力大小相等，方向相反，将与速度方向相反的作用力F旋转90°时，该力与其余力的合力的夹角为90°，这时合力方向与速度方向的夹角为锐角，所以质点做速度增大的曲线运动，A、B、D错误；质点所受合力恒定，所以质点做匀变速曲线运动，C正确。
2.C　解析：乙运动员在恒力作用下做匀变速曲线运动，根据初、末速度的特点可知，乙运动员在vM方向上做减速运动，在vN方向上做加速运动，即恒力的一个分力应与vM方向相反，另一个分力应与vN方向相同，C正确。
3.C　解析：“落叶球”被踢出后还在快速旋转，在空气作用力的影响下，轨迹不对称，A错误；“落叶球”运动到最高点时，速度方向沿轨迹切线方向，速度大小不为零，B错误；“落叶球”在运动过程中还受到了指向曲线轨迹内侧的空气作用力，因此相比正常轨迹的球，下落更快，C正确；“落叶球”在最高点时还受到空气作用力，因此加速度方向不是竖直向下的，D错误。
特训点二
1.A　解析：白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，等效为小球相对于白纸沿x轴负方向做匀加速直线运动，即x轴方向上的合力指向x轴负方向；小球沿y轴正方向做匀速直线运动，y轴方向上的合力为零，故总的合力指向x轴负方向，指向轨迹内侧，小球的合运动为匀变速曲线运动(类平抛运动)，A正确。
2.A　解析：由题图可知，在0~t1时间内，无人机在x轴方向上向右做匀减速运动，加速度沿x轴负方向，在y轴方向上做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴正方向，则合力方向指向xOy坐标平面的第二象限，根据合力方向位于轨迹的凹侧，可知无人机的轨迹向上偏转；在t1~t2时间内，无人机在x 轴方向上做匀速运动，在y轴方向上向上做匀减速运动，加速度沿y轴负方向，合力方向沿y轴负方向，可知无人机的轨迹向下偏转，A正确。
3.C　解析：从题图中可知物体在竖直方向上做初速度不为零的匀减速直线运动，在A点竖直方向速度为零。根据运动的对称性可得，物体从O到A的运动时间等于从A到B的运动时间，物体在水平方向上做初速度不为零的匀变速直线运动，因从O到A和从A到B的时间相等，且位移x1>x2，则水平方向物体做匀减速直线运动，故从O点到B点合力做负功，物体在B点的速度vB特训点三
典例1　B　解析：设船在静水中的速度为vc，去程时船头指向始终与河岸垂直，则有t去=；回程时船的行驶路线与河岸垂直，则有t回=，而回程时船的合速度v合=，由于去程与回程所用时间的比值为k，所以小船在静水中的速度大小vc==，B正确，A、C、D错误。
对点特训
1.B　解析：小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度方向与加速度方向不共线，小船的合运动是曲线运动，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为3 m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm=5 m/s，B正确；小船在距南岸200 m处的速度与在距北岸200 m处的速度大小相等，C错误；小船的渡河时间t= s=200 s，D错误。
2.BD　解析：甲、乙两船渡河时间t=，乙能垂直于河岸渡河，对乙船，有v水=vcos 60°，可得甲船在渡河时间内沿水流方向的位移为(vcos 60°+v水)=L<2L，甲船在A点左侧靠岸，甲、乙两船不能相遇。A、C错误，B、D正确。
3.B　解析：速度最小且避开漩涡，沿直线运动到对岸时合速度方向恰好与漩涡相切，如图所示，由于水的流速不变，合速度与漩涡相切，可知当冲锋舟在静水中的速度与合速度垂直时，速度最小，所以有sin θ=，tan=，联立解得v舟=v，B正确。
特训点四
典例2　A　解析：由题意可知杆实际的速度方向为竖直向上，杆相对于半圆柱体沿圆弧运动，即杆与半圆柱体在过P点的半径方向上的速度分量相等，由几何知识可知v1cos θ=v0sin θ，解得v1=v0tan θ，A正确。
对点特训
1.B　解析：P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，当θ=60°时，Q的速度沿绳子方向的分速度vQcos 60°=vP，解得=，A错误；当θ=90°，即Q到达O点的正下方时，垂直于Q运动方向上的分速度为0，即vP=0，此时Q的速度最大，B正确、C错误；在θ向90°增大的过程中，Q受到的合力逐渐减小，当θ=90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，D错误。
2.B　解析：当乙球距离竖直墙壁3 m时，设此时杆与水平方向的夹角为θ，则cos θ=，此时甲、乙两球沿杆方向的速度相等，则v乙cos θ=v甲sin θ，解得=，A错误、B正确；下落过程中甲、乙两球沿杆方向的速度大小相等，甲球即将落地时，沿杆方向的速度为零，故乙球的速度为零，此时甲球速度大于乙球的速度，C、D错误。
3.C　解析：如图所示，根据运动的效果可将物块水平向右运动的速度沿垂直于杆和沿平行于杆的方向分解成v2和v1，根据平行四边形定则可得v1=vcos θ、v2=vsin θ，根据几何关系可得OB=，由于B点的线速度大小v2=vsin θ=OBω，所以ω==，所以A点的线速度大小vA=Lω=，C正确。

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